Ток в тарелке

Решение

A1. Результаты измерений зависимости потенциала \(\varphi(x)\) от расстояния \(x\) до положительного электрода при двух различных расстояниях между электродами \(l\) представлены в таблице. Графики полученных зависимостей представлены на рисунке ниже.

Ответ:

Ответ:

Рис. 2.

A2. Полученные зависимости являются линейными, описываемыми функциями

\[\varphi (x) = ax+b \qquad(1)\tag{3}\]Коэффициенты этих зависимостей могут быть найдены различными способами, наиболее точный из которых – метод наименьших квадратов. Предельное значение \(\varphi (x \rightarrow 0)\) отлично от нуля, и это значение показывает величину скачка потенциала на отрицательном электроде

\[\Delta\varphi _{(-)} =\varphi(0) =b \qquad(2)\tag{4}\]Второе предельное значение \(\varphi (x \rightarrow l)\) отлично от напряжения источника \(U_0\), в чем проявляется наличие скачка потенциала вблизи положительного электрода. Поэтому величина этого скачка равна

\[\Delta\varphi _{(+)} = U_0 - \varphi(l) =U_0-(al+b) \qquad(3)\tag{5}\]Аналогично, предельное значение \(\varphi (x \rightarrow l)\) отлично от нуля, в чем проявляется наличие скачка потенциала вблизи отрицательного электрода.

В таблице ниже представлены расчеты по МНК параметров линейных зависимостей \((1)\) и их погрешностей, а также величины скачков потенциалов (и их погрешности), найденные по формулам \((2)\)–\((3)\).

Ответ:

B1. Радиус центрального электрода \(r_0=1.2 ~мм\), радиус кольцевого электрода \(R=6.5~ см\).

Результаты измерений зависимости потенциала от расстояния до центра центрального электрода представлены в таблице и на графике ниже.

Ответ:

Ответ:

Рис. 3.

B2. Так как распределение токов является радиально симметричным, то зависимость плотности тока от расстояния до центральной точки будет обратно пропорциональной \(j \propto{a}/{r}\). По закону  Ома такой же будет зависимость напряженности поля от расстояния \(E={a}/{r}\) . Распределение потенциала можно найти, проинтегрировав выражение для напряженности по расстоянию

\[\Delta\varphi=-\int\limits_{r_0}^rE~\mathrm{d}r = -a \ln \frac{r}{r_0},\]то есть зависимость является логарифмической, приведенной в условии. Параметры этой зависимости определяются граничными условиями:

• при \(r=r_0\) (\(r_0\) – радиус центрального электрода) потенциал равен \(\varphi(r_0)=\Delta\varphi_{(-)}\));

• при \(r=R\) (\(R\) – радиус кольцевого электрода) потенциал равен \(\varphi (R)=U_0-\Delta\varphi_{(+)}\)).

Из этих условий следует, что исследуемая зависимость имеет вид

\[\varphi(r)=\Delta\varphi_{(-)}+\cfrac{(U_0-\Delta\varphi_{(+)})-\Delta\varphi_{(-)}}{\ln({R}/{r_0})} \ln\frac{r}{r_0} \qquad(4)\tag{6}\]то есть параметры приведенной зависимости выражаются через характеристики системы следующим образом

\[A=\Delta\varphi_{(-)},\qquad B=\cfrac{(U_0-\Delta\varphi_{(+)})-\Delta\varphi_{(-)}}{\ln({R}/{r_0})}. \qquad(5)\tag{7}\]По данным измерений в части A можно рассчитать численное значение параметра \(A\approx 0.66B\), для расчета параметра \(B\) необходимо знать эффективный радиус электрода.

B3. Построим зависимость потенциала \(\varphi\) от \(\ln r\)

\[\varphi=A'+B' \ln r \qquad(6)\tag{8}\] Для дальнейшего существенно, что измерено в миллиметрах.

Ответ:

Полученная зависимость оказалась линейной, что подтверждает справедливость приведенной в условии формулы \((1)\).

Обработка данной зависимости методом наименьших квадратов приводит к следующим значениям коэффициентов

\[A'=(0.73\pm0.05)~В,\qquad B'=(0.434\pm0.015)~В\]

B4. Сравнивая теоретическую зависимость с построенной по экспериментальным данным, находим, что они отличаются постоянным слагаемым

\[\varphi=A+B \ln\frac{r}{r_0}=A+B \ln r - B \ln r_0 =A'+B' \ln r. \qquad(7)\tag{9}\] Таким образом, связь между коэффициентами теоретической и экспериментальной зависимости выражается формулами

\[A'=A-B \ln r_0 ,\qquad B'=B. \qquad(8)\tag{10}\]Из этих формул следует, что эффективный радиус электрода может быть найден по формуле

Ответ:

\[r_0=\exp{\frac{A-A'}{B'}}\approx0.85~мм \qquad(9)\tag{11}\]

Можно также оценить значение эффективного радиуса с помощью значения коэффициента \(B\), из его теоретического значения

\[B=\cfrac{(U_0-\Delta\varphi_{(+)})-\Delta\varphi_{(-)}}{\ln({R}/{r_0})} \implies r_0=R\exp \left (-\frac{U_0-\Delta\varphi_{(+)})-\Delta\varphi_{(-)}}{B}\right)\approx1.8 ~мм \tag{12}\]

Однако, погрешность такого расчета заметно выше.

C1. Измерения проведены при расстоянии между электродами равным \(l=100 ~мм\) .

Результаты измерений зависимости потенциала \(\varphi(x)\) между двумя «точечными» электродами от расстояния до положительного электрода представлены в таблице и на графике ниже.

Ответ:

Ответ:

C2. Формула

\[\varphi (x)=A+B \ln\left(\frac{x}{l-x}\right), \qquad(10)\tag{13}\]Следует непосредственно из полученной формулы (4) и принципа суперпозиции.

Для определения коэффициентов в этой формуле запишем значения потенциалов на поверхности электродов

\[\varphi (r_0)=\Delta\varphi_{(-)}=A-B \ln\frac{r}{r_0} \\\varphi(l-r_0)=U-\Delta\varphi_{(+)}= A+B\ln\frac{r_0}{l-r_0} \qquad(11)\tag{14}\]Из которых элементарно находим

Ответ:

\[A=\frac{U-\Delta\varphi{(+)} +\Delta\varphi{(-)}}{2}=3.9~В\\ B=\frac{U-\Delta\varphi{(+)} +\Delta\varphi{(-)}}{2\ln\dfrac{r_0}{l-r_0}}\approx 0.87~В \qquad(12)\tag{15}\]

C3. Для доказательства применимости формулы \((10)\), построим график зависимости потенциала \(\varphi\) от величины \(\ln\left(\dfrac{x}{l-x} \right).\)

Расчет параметров этой зависимости по МНК приводит к следующим значениям коэффициентов этой зависимости

Ответ:

\[A=(3.84\pm0.04)~В,\qquad B=(0.93\pm0.03)~В \qquad(13)\tag{16}\]Что хорошо согласуется с теоретическими значениями, рассчитанным по предыдущим экспериментальным данным.

Источник: pho.rs/p/3897.