Магнитные шарики

Решение

A1. Результаты измерений периода колебаний \(T\) для маятника с разным количеством шариков n представлены в таблице:

Ответ:

A2. Для оценки влияния упругости нити на крутильные колебания, свернём «стрелку» в кольцо. Очевидно, что магнитный момент такого маятника равен нулю. В этом легко убедиться и экспериментально: в поле Земли такой маятник не ориентируется, а динамику колебаний полностью определяет упругость нити. Период колебаний кольца на нитке оказывается более чем на порядок больше периода колебаний крутильного маятника в виде стрелки.

Ответ:

Следовательно, при расчете периода колебаний магнитной «стрелки» упругость нити можно не учитывать.

A3. Период колебаний определяется моментом инерции \(I_n\) маятника, относительно оси вращения, проходящей через середину «стрелки» перпендикулярно её оси, и возвращающим моментом сил, действующим на «стрелку» со стороны поля Земли. Уравнение движения маятника для малых колебаний \((\sin\varphi\approx \varphi)\) имеет вид:\[I_n\,\dfrac{\mathrm d^2\varphi}{\mathrm dt^2}= -P_mB_{h\varphi}\implies I_n \ddot{\varphi}+ H_mB{h\varphi}=0\]\(\implies\) период колебаний

Ответ:

\[T=2\pi\sqrt{{I_n}B_h/{P_m}}=2\pi\sqrt{{I_n}B_h/{np_m}}\]

Здесь \(P_m=np_m\) – полный магнитный момент магнитной стрелки, \(B_h\) – горизонтальная составляющая магнитного поля Земли в наших широтах, \(I_n\) – момент инерции «стрелки», состоящей из \(n\) шариков. Здесь мы использовали свойство аддитивности величины магнитного момента постоянных магнитов: полный магнитный момент системы равен векторной сумме составляющих её магнитных моментов. Экспериментальное доказательство этого свойства представлено в части B.

A4. Используя теорему Штейнера и свойство аддитивности момента инерции, рассчитываем момент инерции магнитной «стрелки» из \(n\) шариков. Получаем следующие значения (\(\alpha = {2}/{5}\), \(md^2 = 11.575 ~г\cdot мм^2\)):

\[\begin{array}{l}I_3 = (8 + 3\alpha)md^2/4 = 2.3 md^2 = 28.8  г\cdot мм^2 \\I_5 = 5(8 + \alpha)md^2/4 = 10.5 md^2 = 131.3 г\cdot мм^2 \\I_7 = 7(16 + \alpha)md^2/4 = 28.7 md^2 = 358.8  г\cdot мм^2 \\I_9 = I_7 + 2m(4d)^2 + 0.2md^2 = 60.9 md^2 = 761.3  г\cdot мм^2 \\I_{11} = I_9 + 2m(5d)^2 + 0.2md^2 = 111.1 md^2 = 1388.8 г\cdot мм^2 \\I_{13} = I_{11} + 2m(6d)^2 + 0.2md^2 =183.3 md^2 = 2291.3  г\cdot мм^2\end{array}\]

Для экспериментальной проверки теоретической зависимости \(T(n)\) строим график в координатах \((I_n/n, T^2)\) – в таких координатах этот график должен быть прямой линией с наклоном

\[k = \frac{4\pi^2}{p_mB}\implies T^2 = \left(\frac{4\pi^2}{p_mB}\right) \frac{I_n}{n}.\]

Ответ:

Видно, что экспериментальные точки в пределах точности эксперимента хорошо ложатся на прямую линию.

A5. Из графика находим:

\[p_mB_h = 4\pi^2\cfrac {\Delta({I_n}/{n})}{\Delta(T^2)}≈ 767 ~г \cdot{мм^2}/{с^2} = 0.767 ~мкДж.\]Минимальная работа, необходимая для разворота магнитной «стрелки» с \(n = 13\) на \(180^{\circ}\) равна разности магнитных энергий в конце и в начале:

Ответ:

\[A = W_к – W_н = 2np_mB_h = 26p_mB_h \approx 20~ мкДж~ (= 200 ~эрг)\]

A6. Ответ:

Горизонтальная составляющая поля Земли:

Ответ:

\[B_h = \frac{(p_mB_h)}{p_m} = \frac{0.767 \cdot10^{-6}}{56.5\cdot 10^{-3}} \approx13.6~ мкТл\]

B1. «Стрелку» из чётного числа \(n\) шариков подвешиваем за середину. Видно (см. рис. 1), что «стрелка» не горизонтальна. Это объясняется моментом сил, действующим на стрелку со стороны магнитного поля Земли.

Рис. 1

С помощью грузика из проволоки уравновешиваем «стрелку» в горизонтальном положении (см. рис. 2) и из условия равновесия рассчитываем момент магнитных сил \(M\), действующих на «стрелку». Измерения проводим для чётных \(n = 4, 6, 8, 10\) (у таких «стрелок» есть «хорошая серединка» для подвешивания на нити). Строим зависимость \(M = M(n).\) Экстраполяцией получаем значение момента сил \(Mn\) для нечётных значений \(n = 3, 5, 9.\)

По длине «стрелки» из 10 шариков определяем диаметр шарика \(d\):\[10d = 50~ мм\implies d = 5 ~мм.\]

Рис. 2

Результаты измерений момента сил, уравновешивающих «стрелку» из \(n\) шариков в горизонтальном положении представлены в таблице. Обозначения:

• \(n\) – число шариков;

• \(l_n\) – длина медной проволоки, уравновешивающей «стрелку» из \(n\) шариков в горизонтальном положении;

• \(m_n = p_ll\) – масса проволоки длиной \(l_n\);

• \(r_n\) – плечо силы тяжести проволоки \(m_n\);

• \(M_n = mngrn\) – момент силы тяжести проволоки \(m_n\).

Ответ:

B2.

Зависимость момента сил от числа шариков \(M(n)\)

График зависимости \(M= M(n)\) – прямая линия, идущая в ноль \(\implies M \sim n\).

Ответ:

Вывод: полный магнитный момент «стрелки» – величина аддитивная; он может быть расcчитан по формуле: \(p_m(n) = np_m\), где \(p_m\) – величина магнитного момента одного шарика.

По графику находим момент сил, действующий на «стрелку» с нечётным \(n=3,5,9\): \(M_3 \approx9~ мкДж\), \(M_5 \approx15~ мкДж\), \(M_9 \approx 27 ~мкДж\).

B3. По наклону прямой \(M(n)\) из графика находим величину\[P_0B_V= {\Delta M}/{\Delta n} = 3.04~ мкДж \implies\]вертикальная составляющая поля Земли:

Ответ:

\[B_V=\frac{(p_mB_V)}{p_m}\approx 54~мкТл\]

B4. Используя значение горизонтальной составляющей \(B_h = 13.6~ мкТл\), найденное в части A, находим магнитное наклонение:

Ответ:

\[\varphi = \operatorname{arctg} \left(\frac{B_V}{B_h}\right) \approx \operatorname{arctg} (3.97) ≈ 76^{\circ}\]

Источник: pho.rs/p/3900.