Закон электромагнитной индукции

Решение

A1. Ответ:

Измерение периода колебаний проводится обычным способом и дает значение

Ответ:

\[T= 1.27 ~с\]

(Из длины нити \(l = 40~ см\implies T=1.28 ~с\))

B1. Зарядив конденсатор, проводим измерения зависимости силы напряжения от времени. Результаты измерений представлены в таблице и на графиках ниже (второй в логарифмическом масштабе).

Ответ:

Ответ:

Ответ:

B2. Определенное по методу наименьших квадратов значение времени разрядки равно

\[\tau=(102\pm2) ~с \qquad(1)\tag{1}\] Сопротивление мультиметра рассчитывается по формуле

Ответ:

\[R_V=\frac{\tau}{C}=(1.02\pm0.05) ~МОм \qquad(1)\tag{2}\]

C1. Измерения временной зависимости напряжения на конденсаторе при его разрядке через диод и катушку телефона проводятся аналогично, результаты этих измерений приведены в таблице и на графиках ниже.

Ответ:

Ответ:

C2. Сопротивление диода (следовательно, и время разряда) может не являться постоянным, а зависеть от приложенного напряжения. Поэтому следует построить зависимость времени разрядки от напряжения на конденсаторе. Эта зависимость может быть рассчитана на основании уравнения \((3)\), из которого следует, что

\[\tau= -U\frac{\Delta t}{\Delta U} = -1\left/\frac{\mathrm d\ln U}{\mathrm dt}\right. \qquad(3)\tag{3}\]

C3. Ответ:

Отметим, что в этом случае время разрядки почти не отличается от времени разрядки только через мультиметр и является примерно постоянной величиной.

D1. Результаты измерений зависимости максимального напряжения на конденсаторе от амплитуды колебаний приведены в таблице ниже.

Ответ:

D2. Полученная зависимость близка к линейной.

Ответ:

E1. При прохождении магнита над катушкой в ней индуцируется ЭДС, величина которой определяется законом М. Фарадея

\[\mathcal E=-\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}. \qquad(4)\tag{4}\]Эта ЭДС подзаряжает конденсатор, который разряжается в тот промежуток времени, когда магнит не проходит над катушкой.

Схематическая зависимость напряжения на конденсаторе от времени показана на рисунке. В течение промежутка времени \(t_1\) (магнит проходит над катушкой) напряжение на конденсаторе возрастает от некоторого значения \(U_1\) до максимального \(U_{\max}\). Процесс зарядки описывается уравнением

\[C\frac{ \mathrm d U}{ \mathrm d t}=\frac{E-U}{R} = \frac{1}{R}\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}-\frac{U}{R} \qquad(5)\tag{5}\]Учитывая малость времени \(t_1\) по сравнению со временем разрядки, можно записать

\[U_{\max}=U_1+\frac{\Phi_0}{R_0C}-\frac{U_1}{R_0C}t_1 \qquad(6)\tag{6}\]Здесь в качестве сопротивления цепи следует брать сопротивление катушки, так как во время зарядки диод открыт, и его сопротивлением можно пренебречь. Величина

\[R_0C=1.4\cdot10^3 ~Ом\cdot10^{-4}~Ф=1.4\cdot10^{-1}~с \qquad(7)\tag{7}\] больше чем время прохождения магнита над катушкой (которое меньше, чем одна сотая периода колебаний).

За промежуток времени \(t_2\approx T/2\) примерно равный половине периода колебаний конденсатор разряжается через закрытый диод. Процесс разрядки описывается уравнением

\[C \frac{\mathrm d U}{\mathrm d t} = -\frac{U}{R} \qquad(8)\tag{8}\]

из которого можно получить приближенное соотношение

\[U_1=U_{\max}\left(1-\frac{t_2}{RC} \right). \qquad(9)\tag{9}\]Из формул \((6)-(9)\) следует

\[U_{\max}= \frac{\Phi_0}{R_0C} \left(\frac{t_1}{R_0C} +\frac{t_2}{RC} \right)^{-1}. \qquad(10)\tag{10}\]Определим время прохождения магнита над катушкой (точнее над половиной катушки) из закона движения маятника. Так как размер катушки и магнита значительно меньше амплитуды колебаний, то это время оценивается формулой

\[t_1= \frac{\Delta l}{V_{\max}}. \qquad(11)\tag{11}\]где \(\Delta l\) сумма диаметра магнита радиуса катушки (в наших экспериментах) \(\Delta l \approx 3 ~см\), а максимальная скорость может быть найдена из закона сохранения энергии

\[\frac {V_{\max}^2}{2}= \frac{\omega^2A^2}{2}, \qquad(12)\tag{12}\]

где \(\omega = {2\pi}/{T}\) – круговая частота колебаний маятника. Таким образом, мы получаем,

\[t_1= \frac{\Delta l}{V_{\max}} = \frac{T}{2\pi} \frac{\Delta l}{A}. \qquad(13)\tag{13}\]

Оценим численные значения слагаемых в формуле \((10)\)

\[\frac{t_1}{R_0C}\approx \frac{T}{2\pi} \frac{\Delta l}{A} \frac{1}{R_0C}\approx 0.5, \qquad \frac{t_2}{RC}= \frac{T}{2RC} \approx 0.03. \tag{14}\]Второе слагаемое более чем на порядок меньше первого, поэтому в первом приближении им можно пренебречь. В итоге максимальное напряжение на конденсаторе примерно оказывается равным среднему значению ЭДС

Ответ:

\[U_{\max}\approx \frac{\Phi_0}{t_1}= \Phi_0\frac{2\pi}{T\Delta l}A. \qquad(14)\tag{15}\]

и пропорциональным амплитуде колебаний, что неплохо подтверждается экспериментом.

E2. Коэффициент пропорциональности в формуле \((14)\) может быть определен из наклона графика зависимости напряжения от амплитуды колебаний и равен

\[K = \frac{\Delta U_{\max}}{\Delta A}= 6.4\cdot10^{-2}~ {В}/{см}. \tag{16}\]Теперь с его помощью можно оценить максимальный магнитный поток, который создает магнит в катушке

Ответ:

\[\Phi_0 \approx K \frac{T\Delta l}{2\pi} \approx 3.9\cdot10^{-2} ~Вб \tag{17}\]

Источник: pho.rs/p/3899.