Сложный сплав

Сопротивление проводника длиной \(L\) и площадью поперечного сечения \(S\), удельное сопротивление которого линейно меняется с расстоянием от \(\rho_l\) до \(\rho_r\), можно найти по формуле \(R = \dfrac{\rho_l + \rho_r}{2}\cdot\dfrac{L}{S}\). Для нахождения показания вольтметра мысленно разобьём каждый проводник посередине на два последовательно соединённых (рис. 16). Применим для них эту формулу; для верхнего проводника получим \[\frac{R_1}{R_2} = \frac{\rho_2 + (\rho_1+\rho_2)/2}{\rho_1 + (\rho_1+\rho_2)/2} = \frac{\rho_1 + 3\rho_2}{3\rho_1 + \rho_2}.\]

Поскольку при последовательном соединении проводников напряжение на них падает пропорционально сопротивлению, падение напряжения на резисторе \(R_2\) равно \[V_2 = U\,\frac{R_2}{R_1+R_2} = U\,\frac{3\rho_1+\rho_2}{4(\rho_1+\rho_2)},\] аналогично \[V_4 = U\,\frac{R_4}{R_3+R_4} = U\,\frac{\rho_1+3\rho_2}{4(\rho_1+\rho_2)}.\] Падение напряжения на резисторе \(R_2\) равно сумме падений напряжений на резисторе \(R_4\) и вольтметре: \(V_2 = V_4 + V\), откуда \[V = V_2 - V_4 = \frac{U(\rho_1-\rho_2)}{2(\rho_1+\rho_2)}.\]