Внутри черного ящика находятся две легкие пружины с жесткостями \(k\) и \(2k\), связанные легкой нерастяжимой нитью, и легкий подвижный блок (рис. 4). В начальном состоянии внешняя сила \(F = 6\text{ Н}\), приложенная к свободному концу нити, обеспечивает деформацию нижней пружины \(x = 1\text{ см}\). Какую минимальную работу \(A\) должна совершить внешняя сила, чтобы сместить вниз свободный конец нити ещё на \(x\)?

\(A \approx 7\cdot 10^{-2}\text{ Дж}\).

Ящик с пружинами — ВсОШ 2014/15, 10 кл., задача 1

Ящик с пружинами
ВсОШ 2014/15, 10 кл.
6/10
Внутри черного ящика находятся две легкие пружины с жесткостями \(k\) и \(2k\), связанные легкой нерастяжимой нитью, и легкий подвижный блок (рис. 4). В начальном состоянии внешняя сила \(F = 6\text{ Н}\), приложенная к свободному концу нити, обеспечивает деформацию нижней пружины \(x = 1\text{ см}\). Какую минимальную работу \(A\) должна совершить внешняя сила, чтобы сместить вниз свободный конец нити ещё на \(x\)?

▶Показать разборСкрыть разбор
Подсказка
Свяжите удлинения пружин через блок и нить и выразите силу через смещение свободного конца нити. Работа равна площади под графиком силы.
Ответ
\(A \approx 7\cdot 10^{-2}\text{ Дж}\).
Решение
Из-за блока сила, растягивающая верхнюю пружину, вдвое больше. Тогда по закону Гука деформации верхней и нижней пружин одинаковы: \(F = kx\), \(2F = 2kx\). Пусть при смещении свободного конца на \(x\) вниз растяжение верхней пружины увеличивается на \(y\). При этом блок опустится вниз на \(y\). Растяжение нижней пружины тоже равно \(y\). Поскольку нить нерастяжима, \(x = 3y\).

Внешняя сила сначала равна \(F = kx\), в конце \(F_1 = k(x+y) = \dfrac{4}{3}kx = \dfrac{4}{3}F\) и линейно зависит от смещения. Работу этой силы найдём как площадь под графиком \(F(y)\): \[A = \frac{F+F_1}{2}\,x = \frac{7}{6}\,Fx = 7\cdot 10^{-2}\text{ Дж}.\]
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Ящик с пружинами

Ящик с пружинами

Похожие задачи