Термоэлектрические явления

Подсказка

В модели Друде электрон между столкновениями ускоряется полем, а при столкновении теряет энергию, накопленную на длине свободного пробега; потоки энергии через сечение зависят от температуры в точках последнего столкновения.

Ответ

1.1) \(n=\dfrac{Z\rho N_A}{A}\approx8{,}44\cdot10^{28}\) м\(^{-3}\);  1.2) \(\sqrt{\langle v^2\rangle}=\sqrt{3kT/m_e}\approx1{,}17\cdot10^{5}\) м/с;  1.4) \(\sigma=\dfrac{ne^2\tau}{m_e}\);  1.5) \(\tau\approx2{,}51\cdot10^{-14}\) с;  2.1) \(\langle\varepsilon\rangle=\dfrac{(eE\tau)^2}{m_e}\);  2.2) \(w=\sigma E^2=j^2/\sigma\);  3.2) \(\kappa=\tfrac12kn\langle v^2\rangle\tau\approx2{,}0\cdot10^{2}\) Вт/(м\(\cdot\)К);  3.3) \(L=\dfrac32\left(\dfrac ke\right)^2\approx1{,}1\cdot10^{-8}\) Вт\(\cdot\)Ом/К\(^2\).

Решение

Часть 1. Закон Ома.

1.1. На каждый ион в металле приходится \(Z\) электронов, причём массой электронов в сравнении с массой иона можно пренебрегать. В соответствии с этим

\[n = \frac{N}{V} = \frac{Z \frac{\rho V N_A}{A}}{V} = \frac{Z \rho N_A}{A} = 8{,}44 \cdot 10^{28} \text{ м}^{-3}.\tag{1}\]

1.2. Так как электронный газ считается идеальным, к нему можно применить методы кинетической теории газов, в соответствии с чем

\[\frac{m_e \langle v^2 \rangle}{2} = \frac{3kT}{2} \Rightarrow \sqrt{\langle v^2 \rangle} = \sqrt{\frac{3kT}{m_e}} = 1{,}17 \cdot 10^5 \text{ м} \cdot \text{с}^{-1}.\tag{2}\]

1.3. В электрическом поле в соответствии со вторым законом Ньютона для электронов

\[e\vec{E} = m_e \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}.\tag{3}\]

Тогда по прошествии времени \(t\) после предыдущего столкновения электрон имеет скорость

\[\vec{v} = \vec{v_0} + \frac{e\vec{E}t}{m_e},\tag{4}\]

где \(\vec{v_0}\) — скорость, полученная электроном в результате столкновения. Тогда, учитывая, что среднее время между столкновениями равно времени релаксации, а скорость после столкновения направлена случайным образом, получаем, что

\[\langle \vec{v} \rangle = \langle \vec{v_0} + \frac{e\vec{E}t}{m_e} \rangle = \langle \frac{e\vec{E}t}{m_e} \rangle = \frac{e\vec{E} \langle t \rangle}{m_e} = \frac{e\vec{E}\tau}{m_e}.\tag{5}\]

1.4. Плотность тока в данном случае найдем

\[\vec{j} = ne\langle \vec{v} \rangle = \frac{ne^2\tau}{m}\vec{E} = \sigma\vec{E}\tag{6}\]

по закону Ома. Тогда

\[\sigma = \frac{ne^2\tau}{m}.\tag{7}\]

1.5. С учетом (7) для среднего времени между столкновениями получаем

\[\gamma = \frac{1}{\sigma} = \frac{m}{ne^2\tau} \Rightarrow \tau = \frac{m}{ne^2\gamma} = 2{,}51 \cdot 10^{-14} \text{ с}.\tag{8}\]

Часть 2. Закон Джоуля-Ленца.

2.1. Найдем среднюю энергию, передаваемую электроном кристаллической решетке за одно столкновение. Если \(\vec{v_1}\) — скорость электрона сразу после столкновения, а \(\vec{v_0}\) — непосредственно перед ним, то

\[H = \frac{m_e}{2} (\langle v_1 \rangle^2 - \langle v_0 \rangle^2)\tag{9}\]

\[\langle v_1^2 \rangle = \langle \left( \overrightarrow{v_0} + \frac{e\overrightarrow{E}t}{m_e} \right)^2 \rangle \approx \langle v_0^2 \rangle + 2 \left( \frac{eE}{m_e} \right)^2 \langle \tau^2 \rangle = \langle v_0^2 \rangle + 2 \left( \frac{eE\tau}{m_e} \right)^2\]

из которого следует искомое значение

\[\langle v_1^2 \rangle = \langle \left( \overrightarrow{v_0} + \frac{e\overrightarrow{E}t}{m_e} \right)^2 \rangle = \langle v_0^2 \rangle + \left( \frac{eE}{m_e} \right)^2 \langle \tau^2 \rangle = \langle v_0^2 \rangle + 2 \left( \frac{eE\tau}{m_e} \right)^2 \Rightarrow H = \frac{(eE\tau)^2}{m_e}\tag{10}\]

2.2. Тогда мощность, выделяемую в единице объёма, можно найти как

\[w = \frac{n}{\tau} H = \frac{n\tau(eE)^2}{m_e} = \sigma E^2 = 5{,}95 \cdot 10^{11} \text{ Вт} \cdot \text{м}^{-3}\tag{11}\]

Как следует из закона Ома в дифференциальной форме

\[j = \sigma E \Rightarrow P = \frac{j^2}{\sigma} LS\tag{12}\]

где \(L\) и \(S\) — длина и площадь сечения стержня соответственно. Тогда

\[w = \frac{(jS)^2}{\sigma S} L \cdot \frac{1}{V} = \frac{1}{\sigma} j^2\tag{13}\]

Часть 3. Закон Видемана - Франца.

3.1. Перенос теплоты осуществляется за счёт того, что электроны, пришедшие из областей с более высокой температурой, сталкиваясь с ионами в областях с меньшей температурой, отдают им больше энергии, чем получают от них. Рассмотрим некоторое поперечное сечение внутри металла. В среднем половина электронов приходит в эту точку со стороны положительного направления оси \(x\), а половина — со стороны отрицательного.

Тогда плотность потока теплоты, обусловленная электронами, пришедшими со стороны отрицательного направления оси \(x\) с проекцией скорости \(v_x\) равна

\[q_-(x) = \frac{1}{2} n_x v_x \cdot \frac{3}{2} kT(x - v_x \tau)\tag{14}\]

а с положительного —

\[q_+(x) = -\frac{1}{2} n_x v_x \cdot \frac{3}{2} kT(x + v_x \tau)\tag{15}\]

где \(n_x\) — концентрация электронов с проекцией скорости \(v_x\).

Тогда полная плотность потока теплоты для электронов с проекцией скорости \(v_x\) равна

\[q(x) = \frac{3}{4} k n_x v_x \big( T(x - v_x \tau) - T(x + v_x \tau) \big)\tag{16}\]

Предполагая, что температура меняется незначительно на длине свободного пробега электрона, получаем, что

\[T(x \pm v_x \tau) \approx T(x) \pm v_x \tau \frac{\Delta T}{\Delta x}(x) \Rightarrow q(x) = -\frac{3}{2} k n_x v_x^2 \tau \frac{\Delta T}{\Delta x}(x)\tag{17}\]

\[q(x) = -\sum \frac{3}{2} k n_x v_x^2 \tau \frac{\Delta T}{\Delta x}(x) = -\frac{3}{2} k n \langle v_x^2 \rangle \tau \frac{\Delta T}{\Delta x}(x) = -\frac{1}{2} k n \langle v^2 \rangle \tau \frac{\Delta T}{\Delta x}(x),\tag{18}\]

так как \(\langle v_x^2 \rangle = \frac{1}{3} \langle v^2 \rangle\).

3.2. Для теплопроводности металла (меди) получаем следующее значение

\[\kappa = \frac{1}{2} k n \langle v^2 \rangle \tau = 1{,}99 \cdot 10^2 \text{ Вт} \cdot \text{м}^{-1} \cdot \text{К}^{-1}.\tag{19}\]

3.3. Численное значение постоянной Лоренца найдем из формулы подсказки

\[L = \frac{\kappa}{\sigma T} = \frac{3}{2} \left( \frac{k}{e} \right)^2 = 1{,}12 \cdot 10^{-8} \text{ Вт} \cdot \text{Ом} \cdot \text{К}^{-2}.\tag{20}\]

Часть 4. Эффект Томсона.

4.1. Рассуждения в данном пункте практически полностью повторяют оные из пункта 2.1. Действительно, при этом

\[\langle v_Q \rangle = \langle \frac{1}{2} (v_x(x - v_x \tau) - v_x(x + v_x \tau)) \rangle = - \langle \tau v_x \frac{\Delta v_x}{\Delta x} \rangle\tag{21}\]

С учетом правил работы с бесконечно малыми величинами, данное выражение можно преобразовать как

\[\langle v_Q \rangle = - \langle \tau v_x \frac{\Delta v_x}{\Delta x} \rangle = - \langle \frac{\tau \Delta v_x^2}{2 \Delta x} \rangle = - \frac{\tau \Delta \langle v_x^2 \rangle}{2 \Delta x} = - \frac{\tau \Delta \langle v^2 \rangle}{6 \Delta x} = - \frac{k \tau}{2 m_e} \frac{\Delta T}{\Delta x}.\tag{22}\]

4.2. Пусть электрон испытывает одно столкновение в точке с координатой \(x - d\), а второе — в точке с координатой \(x\). Тогда выделение теплоты во втором столкновении равно

\[Q = \frac{m_e}{2} (\langle v_1^2 \rangle - \langle v_0^2 \rangle) = \frac{m_e}{2} \left( 2 \left( \frac{e E \tau}{m_e} \right)^2 + \langle v_0(x - d) \rangle^2 - \langle v_0(x) \rangle^2 \right).\tag{23}\]

Полученное выражение можно привести к виду

\[\langle v_0(x - d) \rangle^2 - \langle v_0(x) \rangle^2 = - \frac{\Delta \langle v_0(x) \rangle^2}{\Delta x} (d) = - \frac{3 k}{m_e} \frac{\Delta T}{\Delta x} \langle v_{0x} t + \frac{e E t^2}{2 m_e} \rangle = - \frac{3 k e E \tau^2}{m_e^2} \frac{\Delta T}{\Delta x},\tag{24}\]

Откуда следует, что

\[p = \frac{(e E \tau)^2}{m_e} - \frac{3 k e E \tau^2}{2 m_e} \frac{\Delta T}{\Delta x}.\tag{25}\]

Численное значение дает

\[p = - \frac{3 n k e E \tau \Delta T}{2 m_e \Delta x} = - \frac{3 n k e E \tau}{2 m_e} \lambda = 7{,}71 \cdot 10^6 \text{ Вт} \cdot \text{м}^{-3}.\tag{26}\]

4.3. Из формулы (25) следует, что мощность дополнительной теплоты Томсона пропорциональна плотности тока и градиенту температур, причем коэффициент пропорциональности равен

\[\mu = - \frac{3 k}{2 e}.\tag{27}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.