Задачи › Полное внутреннее отражение

Лазер в сосуде

  1. Лазер в сосуде

    ВсОШ 2016/17, 9 кл.
    5/10

    Внутри стеклянного тонкостенного цилиндрического сосуда радиуса \(R\) вблизи его стенки в точке \(A\) расположен микролазер, размеры которого гораздо меньше \(R\). Сосуд заполнен водой, а снаружи находится воздух. Половина внутренней поверхности сосуда, соответствующая дуге \(ACB\), зачернена и поглощает свет. Изначально луч лазера направлен в точку \(B\).

    Лазер начинает вращаться с постоянной угловой скоростью \(\omega\) против часовой стрелки в плоскости рисунка вокруг оси, проходящей через точку \(A\). Показатель преломления воды \(n = 4/3\).

    Рисунок

    1. Через какое время \(\tau\) луч перестанет выходить из сосуда?

    2. Чему будет равна скорость «зайчика» на зачернённой поверхности цилиндра в момент времени \(1{,}5\tau\) от начала его движения?

    Примечание. Вам может потребоваться закон Снелла: \(n_1\sin\varphi_1 = n_2\sin\varphi_2\), где \(n_1\) и \(n_2\) — показатели преломления света в первой и второй среде, \(\varphi_1\) и \(\varphi_2\) — углы падения и преломления.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Луч перестаёт выходить наружу при угле падения на стенку, большем критического. Дальше посмотрите, сколько раз луч отразится внутри сосуда, прежде чем попасть на зачернённую половину, и как меняется его угловая координата.

    Ответ

    1) \(\tau = \dfrac{1}{\omega}\arcsin\dfrac{1}{n} \approx \dfrac{0{,}85}{\omega}\) (угол около \(49^\circ\)); 2) \(\upsilon_{\text{з}} = 12\,\omega R\).

    Решение

    1. По закону Снелла на границе вода–воздух полное внутреннее отражение начинается при \(\sin\alpha_{\text{крит}} = 1/n\). Угол поворота луча \(\omega\tau = \alpha_{\text{крит}}\), откуда \[\tau = \frac{1}{\omega}\arcsin\frac{1}{n} \approx \frac{49^\circ}{\omega}.\]

    Рисунок

    2. К моменту \(1{,}5\tau\) луч повёрнут на \(\beta = 1{,}5\,\omega\tau \approx 73^\circ\), и угол при вершине равнобедренных треугольников \(\gamma = 180^\circ - 2\beta \approx 34^\circ\). Так как \(\gamma < 180^\circ\), луч несколько раз отражается прежде, чем попадёт на зачернённую половину. Условие на число отражений \(n\gamma < 180^\circ < (n+1)\gamma\) даёт \(n < 5{,}3 < n+1\), то есть \(n = 5\). Угловая координата зайчика \[\varphi(t) = (n+1)\gamma(t) = (n+1)\bigl(180^\circ - 2\omega t\bigr) = 1080^\circ - 12\,\omega t .\] Зависимость линейна, поэтому угловая скорость зайчика \(\omega_{\text{з}} = 12\,\omega\), а линейная \[\upsilon_{\text{з}} = 12\,\omega R .\]

    Рисунок

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх