ВсОШ, 2016/17, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

Мощность сил сопротивления зависит от скорости как \(v^2\), а время прохождения пути \(L\) равно \(L/v\). Запишите расход на единицу пути через две неизвестные константы и найдите их по двум опытам. Дальше — исследование функции \(\lambda(v)\) на минимум.

Ответ

1) \(\lambda = 2{,}5\,v + \dfrac{37{,}5}{v}\), где \(\lambda\) в г/км, \(v\) в км/ч; 2) \(\tau_x \approx 160\) мин; 3) \(v_0 \approx 3{,}87\) км/ч, \(\lambda_0 \approx 19{,}4\) г/км; 4) \(L_0 \approx 5{,}2\) км, \(\tau_0 \approx 80\) мин; 5) \(\tau_1 \in [15\ \text{мин};\ 145\ \text{мин}]\).

Решение

При скорости \(v\) расстояние \(L\) модель проходит за время \(\tau = L/v\). Мощность сил сопротивления \(N = Fv = kv^2\), массовый расход \(\mu = \mu_0 + \alpha N\), поэтому линейный расход \(\lambda = \dfrac{\mu\tau}{L} = \alpha v + \dfrac{\mu_0}{v}\).

Из двух опытов: \(\alpha = \dfrac{\lambda_1 v_1 - \lambda_2 v_2}{v_1^2 - v_2^2} = 2{,}5\) г\(\cdot\)ч/км\(^2\), \(\mu_0 = \dfrac{v_1 v_2 (v_1\lambda_2 - v_2\lambda_1)}{v_1^2 - v_2^2} = 37{,}5\) г/ч. График зависимости \(\lambda(v)\) приведён на рисунке.

На холостом ходу \(\tau_x = M/\mu_0 = 160\) мин.

Минимум \(\lambda\): квадратное уравнение \(2{,}5v^2 - \lambda v + 37{,}5 = 0\) имеет нулевой дискриминант при \(\lambda_0 = 2\sqrt{2{,}5\cdot 37{,}5} \approx 19{,}4\) г/км, что соответствует \(v_0 = \sqrt{37{,}5/2{,}5} \approx 3{,}87\) км/ч.

Предельное расстояние с оптимальной скоростью \(L_0 = M/\lambda_0 \approx 5{,}2\) км, время \(\tau_0 = L_0/v_0 \approx 80\) мин.

Так как \(L_1 = 3\) км меньше \(L_0\), модель может двигаться быстрее или медленнее оптимальной скорости. Подставляя \(\lambda = M/L_1 = 100/3\) г/км в квадратное уравнение, получаем два корня: \(v_{11} \approx 12{,}1\) км/ч (минимальное время \(\approx 15\) мин) и \(v_{12} \approx 1{,}24\) км/ч (максимальное время \(\approx 145\) мин).

Подсказка

Шлейф дыма направлен вдоль скорости ветра относительно паровоза. Сравните расстояния между точками, в которых паровозы находятся на шлейфе, и примените закон сложения скоростей.

Ответ

1) ветер восточный (дует на запад);  2) \(R \approx 400\) м;  3) \(v/u \approx 2\);  4) два возможных направления прямой ветки определяются построением по закону сложения скоростей (см. решение и рисунок).

Решение

Паровоз находится в точке \(B\), а шлейф расположен западнее, значит, дует восточный ветер (на запад). Расстояние между точками \(A\) и \(B\) с севера на юг (16 клеток = 800 м) равно диаметру кольцевой линии, поэтому \(R = 400\) м.

Касательная к шлейфу в точке \(D\) направлена с севера на юг. По закону сложения скоростей это возможно, если в системе отсчёта паровоза скорость ветра направлена вдоль меридиана. Так как точка \(D\) южнее точки \(A\) на \(R/2\), угол \(\alpha = 30^\circ\) и \(v = 2u\). По пути дыма и пути паровоза получается отношение скоростей \(\approx 1{,}93 \pm 0{,}05\), что согласуется с \(v/u = 2\).

Построение прямой ветки. Из произвольной точки проводим отрезок в западном направлении до пересечения со шлейфом (точка \(L\)) — это вектор скорости ветра \(u\). Строим окружность вдвое большего радиуса с центром в точке \(O\); её пересечение со шлейфом \(K\) задаёт направление \(KO\) вектора скорости паровоза относительно земли \(v = 2u\). Скорость ветра в системе отсчёта паровоза направлена вдоль шлейфа. Получаются два направления прямой ветки (курс 1 и курс 2 на рисунке).

Подсказка

Выделившееся за малое время тепло идёт на нагрев спирали. Интеграл мощности по времени пропорционален площади под графиком \(R(t)\), поэтому удобно перейти к интегралу по температуре.

Ответ

1) \(t_2 \approx 188\,^\circ\)C;  2) \(C \approx 7{,}2\cdot10^{-3}\) Дж/\(^\circ\)C.

Решение

Тепловая мощность \(N = \dfrac{U^2}{R(t)}\). Тепло за малое время \(\Delta\tau\) идёт на нагрев на \(\Delta t\): \(\dfrac{U^2}{R(t)}\,\Delta\tau = C\,\Delta t\), откуда \[C\tau = U^2\int \frac{dt}{R(t)} \quad\Rightarrow\quad \frac{U^2\tau_1}{C} = R_0(t_1 - t_0) + \frac{\alpha}{2}(t_1 - t_0)^2 .\] Отсюда \[C = \frac{2U^2\tau_1}{2R_0(t_1 - t_0) + \alpha(t_1 - t_0)^2} \approx 7{,}2\cdot10^{-3}~\text{Дж/}^\circ\text{C}.\] Для момента \(\tau_2\) аналогично, исключая \(C\), получаем квадратное уравнение \[\frac{\alpha}{2}(t_2 - t_0)^2 + R_0(t_2 - t_0) - \frac{\tau_2}{\tau_1} \left(\frac{\alpha}{2}(t_1 - t_0)^2 + R_0(t_1 - t_0)\right) = 0 .\] Его положительный корень \(t_2 \approx 188\,^\circ\)C (отрицательный не имеет физического смысла).

Подсказка

Для симметричного положения токи через элементы одинаковы. Для остальных положений составьте уравнения Кирхгофа для эквивалентной схемы и решите их совместно с ВАХ графически.

Ответ

1) \(W \approx 2{,}0\) Вт;  2) \(W \approx 0{,}60\) Вт;  3) \(W_{\min} \approx 0{,}60\) Вт, при положении движка в центре;  4) \(W \approx 0{,}7\) Вт.

Решение

1. При крайних положениях движка на одном элементе напряжение 0, на втором \(10\) В. По графику ток \(200\) мА, суммарная мощность \(W_1 = 10 \cdot 0{,}2 = 2{,}0\) Вт.

2. В центральном положении схема симметрична, на каждом элементе \(5\) В, ток по графику \(60\) мА, суммарная мощность \(W_2 = 2\cdot 5 \cdot 0{,}06 = 0{,}60\) Вт.

3. Минимум достигается в центральном положении. При смещении движка влево напряжение на левом элементе уменьшается на \(U'\), на правом растёт на \(U'\). Изменение мощности \[\Delta P = \frac{U_0}{2}(\Delta I_{\text{л}} + \Delta I_{\text{п}}) + U'(\Delta I_{\text{п}} - \Delta I_{\text{л}}) > 0,\] так как \(\Delta I_{\text{п}} > 0\), \(\Delta I_{\text{л}} < 0\) и из-за роста ВАХ \(|\Delta I_{\text{п}}| > |\Delta I_{\text{л}}|\). Поэтому \(W_{\min} = W_2\).

4. Эквивалентная схема: \(R_1 = 25\) Ом (левое плечо), \(R_2 = 75\) Ом (правое). Пусть напряжение на левом плече \(U\). Из уравнений для токов получаем \[I_4 - I_3 = U\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right) - \frac{U_0}{R_2} = U\cdot 0{,}053~\text{Ом}^{-1} - 133~\text{мА}.\] Совместно с ВАХ (последовательными приближениями) находим \(U \approx 3{,}5\) В, \(I_3 \approx 35\) мА, \(I_4 \approx 87\) мА, и суммарная мощность \(W = I_3 U + I_4(U_0 - U) \approx 0{,}7\) Вт.

Подсказка

Луч перестаёт выходить наружу при угле падения на стенку, большем критического. Дальше посмотрите, сколько раз луч отразится внутри сосуда, прежде чем попасть на зачернённую половину, и как меняется его угловая координата.

Ответ

1) \(\tau = \dfrac{1}{\omega}\arcsin\dfrac{1}{n} \approx \dfrac{0{,}85}{\omega}\) (угол около \(49^\circ\)); 2) \(\upsilon_{\text{з}} = 12\,\omega R\).

Решение

1. По закону Снелла на границе вода–воздух полное внутреннее отражение начинается при \(\sin\alpha_{\text{крит}} = 1/n\). Угол поворота луча \(\omega\tau = \alpha_{\text{крит}}\), откуда \[\tau = \frac{1}{\omega}\arcsin\frac{1}{n} \approx \frac{49^\circ}{\omega}.\]

2. К моменту \(1{,}5\tau\) луч повёрнут на \(\beta = 1{,}5\,\omega\tau \approx 73^\circ\), и угол при вершине равнобедренных треугольников \(\gamma = 180^\circ - 2\beta \approx 34^\circ\). Так как \(\gamma < 180^\circ\), луч несколько раз отражается прежде, чем попадёт на зачернённую половину. Условие на число отражений \(n\gamma < 180^\circ < (n+1)\gamma\) даёт \(n < 5{,}3 < n+1\), то есть \(n = 5\). Угловая координата зайчика \[\varphi(t) = (n+1)\gamma(t) = (n+1)\bigl(180^\circ - 2\omega t\bigr) = 1080^\circ - 12\,\omega t .\] Зависимость линейна, поэтому угловая скорость зайчика \(\omega_{\text{з}} = 12\,\omega\), а линейная \[\upsilon_{\text{з}} = 12\,\omega R .\]