Нелинейная спираль

Выделившееся за малое время тепло идёт на нагрев спирали. Интеграл мощности по времени пропорционален площади под графиком \(R(t)\), поэтому удобно перейти к интегралу по температуре.

Тепловая мощность \(N = \dfrac{U^2}{R(t)}\). Тепло за малое время \(\Delta\tau\) идёт на нагрев на \(\Delta t\): \(\dfrac{U^2}{R(t)}\,\Delta\tau = C\,\Delta t\), откуда \[C\tau = U^2\int \frac{dt}{R(t)} \quad\Rightarrow\quad \frac{U^2\tau_1}{C} = R_0(t_1 - t_0) + \frac{\alpha}{2}(t_1 - t_0)^2 .\] Отсюда \[C = \frac{2U^2\tau_1}{2R_0(t_1 - t_0) + \alpha(t_1 - t_0)^2} \approx 7{,}2\cdot10^{-3}~\text{Дж/}^\circ\text{C}.\] Для момента \(\tau_2\) аналогично, исключая \(C\), получаем квадратное уравнение \[\frac{\alpha}{2}(t_2 - t_0)^2 + R_0(t_2 - t_0) - \frac{\tau_2}{\tau_1} \left(\frac{\alpha}{2}(t_1 - t_0)^2 + R_0(t_1 - t_0)\right) = 0 .\] Его положительный корень \(t_2 \approx 188\,^\circ\)C (отрицательный не имеет физического смысла).