Графитовый проводник

В установившемся режиме мощность Джоуля–Ленца равна мощности теплоотдачи. Получится квадратное уравнение для температуры; устойчивость корней удобно разобрать по графикам мощностей.

а) \([R_0]=\text{Ом}\), \([\alpha]=\text{град}^{-1}\), \([\beta]=\text{Вт/град}\);  б) при \(U<U_0=\sqrt{R_0\beta/(4\alpha)}\) устойчивая температура \(t=\dfrac{1}{2\alpha}\left(1-\sqrt{1-\dfrac{U^2}{U_0^2}}\right)\) (если начальная температура ниже \(t_2=\dfrac{1}{2\alpha}\left(1+\sqrt{1-U^2/U_0^2}\right)\)), иначе проводник неограниченно разогревается; при \(U>U_0\) равновесия нет;  в) \(I=\dfrac{2U}{R_0\left(1+\sqrt{1-U^2/U_0^2}\right)}\).

а) размерности коэффициентов следуют из вида приведенных формул: \([R_{0}] = \text{Ом}\); \([\alpha] = \text{град}^{-1}\); \([\beta] = \frac{[P]}{[t]} = \frac{\text{Вт}}{\text{град}}\).

б) В установившемся режиме мощность теплоты, выделяющейся при прохождении тока через проводник (которая определяется законом Джоуля-Ленца), равна мощности теплоты, отдаваемой проводником в окружающую среду

\[\frac{U^{2}}{R_{0}(1 - \alpha t)} = \beta t.\tag{1}\]

Это уравнение является квадратным относительно неизвестной установившейся температуры. Решение этого уравнения имеет вид

\[t = \frac{1}{2\alpha} \left( 1 \pm \sqrt{1 - \frac{U^{2}}{U_{0}^{2}}} \right),\tag{2}\]

где обозначено \(U_{0} = \sqrt{\frac{R_{0}\beta}{4\alpha}}\).

В зависимости от приложенного напряжения \(U\), уравнение (1) имеет либо два корня (при \(U < U_{0}\)); либо один корень (при \(U = U_{0}\)); либо корней не имеет (при \(U > U_{0}\)).

Чтобы уяснить физический смысл полученных результатов и выбрать нужное значение корня представим уравнение (1) в графической форме: изобразим примерные графики зависимости рассматриваемых мощностей от температуры проводника.

Прямая 1 является зависимостью мощности теплоты, отдаваемой в среду, кривые 2,3,4 -зависимости мощностей, выделяемых в проводнике, построенные при разных значениях напряжения источника.

Кривая 2 соответствует наличию двух корней \(t_1, t_2\) уравнения 1. Можно заметить, что корень \(t_1\) является устойчивым: при \(t < t_1\) мощность, выделяющаяся в проводнике, превосходит мощность, отдаваемую в среду, поэтому проводник будет нагреваться; при \(t > t_1\) ситуация обратная, поэтому проводник будет остывать до температуры \(t_1\). Корень \(t_2\) - неустойчив: при \(t < t_2\) проводник будет остывать до температуры \(t_1\); при \(t > t_2\) проводник будет разогревать до бесконечности, так на этом этапе мощность, выделяемая в проводнике, возрастает быстрее мощности, отдаваемой в среду. Кривая 3 построена для случая единственного корня, который как видно из графика неустойчив - проводник будет разогреваться. Отсутствие корней иллюстрирует кривая 4 - в этом случае отсутствует равновесное значение температуры - при любом ее значении проводник разогревается быстрее, чем остывает. Таким образом, при \(U < U_0\) установившаяся температура определяется формулой \(t_1 = \frac{1}{2\alpha} \left( 1 - \sqrt{1 - \frac{U^2}{U_0^2}} \right)\), если начальная температура проводника меньше, чем \(t_2 = \frac{1}{2\alpha} \left( 1 + \sqrt{1 - \frac{U^2}{U_0^2}} \right)\). В

остальных случаях установившейся температуры не существует - проводник неограниченно разогревается. Примерный график рассмотренной зависимости \(t(U)\) показан на рисунке. в) зависимость силы тока от напряжения легко получить, используя закон Ома и зависимость температуры от приложенного напряжения:

\[I = \frac{U}{R} = \frac{U}{R_0(1 - \alpha t)} = \frac{2U}{R_0\left(1 + \sqrt{1 - \frac{U^2}{U_0^2}}\right)}.\]

Примерный график этой зависимости \(I(U)\) также показан на рисунке.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.