Средняя скорость и среднее ускорение

Среднюю скорость находите как весь путь, делённый на всё время; среднее ускорение — как полное изменение скорости, делённое на то же время. Время для «половины пути» считайте по частям.

а) \(\langle v\rangle=\dfrac{v_1+v_2}{2}\), \(\langle a\rangle=\dfrac{v_2^2-v_1^2}{2S}\);  б) \(\langle v\rangle=\dfrac{2v_1v_2}{v_1+v_2}\), \(\langle a\rangle=\dfrac{2v_1v_2(v_2-v_1)}{S(v_1+v_2)}\);  в) \(\langle v\rangle=\sqrt{\dfrac{S(3a_1+a_2)}{8}}\), \(\langle a\rangle=\dfrac{a_1+a_2}{2}\);  г) \(\langle v\rangle=\sqrt{a_1S}\,\dfrac{a_2}{a_2-a_1+\sqrt{a_1(a_1+a_2)}}\), \(\langle a\rangle=\dfrac{a_2\sqrt{a_1(a_1+a_2)}}{a_2-a_1+\sqrt{a_1(a_1+a_2)}}\).

По определению, средней скоростью называется отношение пройденного пути ко времени движения \(\langle v \rangle = \frac{S}{t}\), а средним ускорением отношение изменения скорости ко времени, за которое это изменение произошло \(\langle a \rangle = \frac{\Delta v}{\Delta t}\).

а) Обозначим все время движение точки \(\tau\). Тогда средняя скорость может быть рассчитана по формуле

\[\langle v \rangle = \frac{v_1 \frac{\tau}{2} + v_2 \frac{\tau}{2}}{\tau} = \frac{v_1 + v_2}{2}.\tag{1}\]

Изменение скорости \(\Delta v = v_2 - v_1\), произошло за время движения \(\tau = \frac{S}{\langle v \rangle} = \frac{2S}{v_1 + v_2}\), поэтому среднее ускорение

\[\langle a \rangle = \frac{\Delta v}{\tau} = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2S}.\tag{2}\]

б) В этом случае время движения \(\tau = \frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2v_2} = \frac{S}{2} \frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2}\), поэтому средняя скорость

\[\langle v \rangle = \frac{S}{\tau} = \frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2},\tag{3}\]

а среднее ускорение

\[\langle a \rangle = \frac{\Delta v}{\tau} = \frac{2v_1 v_2 (v_2 - v_1)}{S(v_2 + v_1)}.\tag{4}\]

в) Учитывая, что начальная скорость точки на первом участке равна нулю, а начальная скорость на втором участке равна конечной скорости первого участка, запишем выражение для пройденного пути

\[S = \frac{a_1 \left( \frac{\tau}{2} \right)^2}{2} + a_1 \left( \frac{\tau}{2} \right) \cdot \left( \frac{\tau}{2} \right) + \frac{a_2 \left( \frac{\tau}{2} \right)^2}{2} = \frac{\tau^2}{8} (3a_1 + a_2),\]

из которого определим время движения

\[\tau = \sqrt{\frac{8S}{3a_1 + a_2}}.\tag{5}\]

Таким образом, средняя скорость в этом случае

\[\langle v \rangle = \frac{S}{\tau} = \sqrt{\frac{S(3a_1 + a_2)}{8}}.\tag{6}\]

Изменение скорости на всем пути определяется формулой \(\Delta v = a_1 \frac{\tau}{2} + a_2 \frac{\tau}{2}\), поэтому среднее ускорение в этом случае равно

\[\langle a \rangle = \frac{\Delta v}{\tau} = \frac{a_1 + a_2}{2}.\tag{7}\]

г) Пусть первую половину пути точка прошла за время \(\tau_1\), которое можно определить из формулы

\[\frac{S}{2} = \frac{a_1 \tau_1^2}{2} \quad \Rightarrow \quad \tau_1 = \sqrt{\frac{S}{a_1}}.\tag{8}\]

Для второго участка пути справедливо соотношение \(\frac{S}{2} = a_1 \tau_1 \tau_2 + \frac{a_2 \tau_2^2}{2}\), из которого найдем время движения на втором участке (с учетом формулы (8))

\[\tau_2 = \sqrt{S} \frac{\sqrt{a_1 + a_2} - \sqrt{a_1}}{a_2}.\tag{9}\]

Теперь можно найти среднюю скорость

\[\langle v \rangle = \frac{S}{\tau_1 + \tau_2} = \sqrt{a_1 S} \frac{a_2}{a_2 - a_1 + \sqrt{a_1(a_2 + a_1)}}\tag{10}\]

и среднее ускорение

\[\langle a \rangle = \frac{\Delta v}{\tau_1 + \tau_2} = \frac{a_1 \tau_1 + a_2 \tau_2}{\tau_1 + \tau_2} = \frac{a_2 \sqrt{a_1(a_2 + a_1)}}{a_2 - a_1 + \sqrt{a_1(a_2 + a_1)}}.\tag{11}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.