Лучи в воде и зеркало на экране

Отражённые лучи идут от зеркала к экрану под углом, который меняется вместе с углом зеркала. Удобно провести вспомогательную горизонталь от точки отражения одного луча до линии другого луча после отражения и выразить расстояние через \(L\) и угол \(2\alpha\) по теореме синусов. Подумайте, когда луч перестаёт выходить из воды.

Построим ход лучей после отражения от зеркала, расположенного под углом \(\alpha\) к горизонту (рис.): лучи падают на зеркало в точках \(A\) и \(B\), после отражения в точке \(A\) луч идёт вдоль \(AC\), причём \(\angle BAC = \alpha\). Точку \(C\) выберем так, чтобы \(BC\) было горизонтально. Расстояние \(|BC| = z\) и есть ответ: при дальнейшем преломлении расстояние между лучами по горизонтали не меняется.

В треугольнике \(ABC\) угол \(\angle ABC = \alpha\), а \(|AB| = L/\sin\alpha\). По теореме синусов \[\frac{z}{\sin\alpha} = \frac{L/\sin\alpha}{\sin 2\alpha} \quad\Rightarrow\quad z = \frac{L}{\sin 2\alpha} = \frac{L}{\sin\bigl(2(\alpha_0 + \omega t)\bigr)} = \frac{L}{\cos 2\omega t}.\] На первый взгляд \(z\) неограниченно растёт, когда знаменатель стремится к нулю. Однако схема перестаёт работать, когда лучи не могут выйти из воды в воздух: это происходит, когда угол падения луча на поверхность воды (\(2\alpha - 90^{\circ}\)) достигает предельного угла полного внутреннего отражения: \[n\sin(2\alpha_{\text{кр}} - 90^{\circ}) = 1 \quad\Rightarrow\quad \alpha_{\text{кр}} = 45^{\circ} + \frac{\arcsin(1/n)}{2}.\] Так как угол меняется равномерно, момент полного внутреннего отражения \[t_* = \frac{\arcsin(1/n)}{2\omega}.\] После этого формула не работает, значит, в этот момент \(z\) было максимальным: \[z_{\max} = \frac{L}{\cos\bigl(\arcsin(1/n)\bigr)} = \frac{Ln}{\sqrt{n^2 - 1}}.\]