Мыльная плёнка и пружина

Мыльная плёнка работает как пружина: сила, с которой она тянет перекладину, пропорциональна длине контакта перекладины с плёнкой. Плёнка и настоящая пружина натянуты одной силой, то есть соединены последовательно. Найдите сначала жёсткость плёнки.

Мыльная плёнка тянет перекладину влево с силой \(2\sigma a\), где \(a\) — длина части перекладины, находящейся в контакте с плёнкой (рис. 1). Перекладина находится на расстоянии \(x_1\) от точки \(O\), и \(a/(2x_1) = \operatorname{tg}30^{\circ} = 1/\sqrt{3}\). Значит, сила действия плёнки \[F_{\text{п}} = 2\sigma a = 4\sigma x_1\operatorname{tg}30^{\circ} = k_1 x_1, \qquad k_1 = \frac{4\sigma}{\sqrt{3}}.\]

Мыльная плёнка работает как «пружина» с жёсткостью \(k_1\), соединённая с настоящей пружиной последовательно. Обе натянуты одной силой \(F = k_1x_1 = kx_2\), и результирующая жёсткость \[\frac{1}{k_{\text{общ}}} = \frac{1}{k} + \frac{1}{k_1} \quad\Rightarrow\quad k_{\text{общ}} = \frac{kk_1}{k + k_1} = \frac{4\sigma k}{k\sqrt{3} + 4\sigma}.\] Зависимость \(F\) от полного растяжения \(x = x_1 + x_2\) линейна: \(F = k_{\text{общ}}x\). График обрывается, когда \(x_1\) достигает \(\sqrt{3}L/2\), то есть когда перекладина достигает краёв стержней; далее плёнка рвётся. Критические значения: \[F_{\text{кр}} = \frac{4\sigma}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}L}{2} = 2L\sigma, \qquad x_{\text{кр}} = \frac{F_{\text{кр}}}{k_{\text{общ}}} = \frac{L\left(k\sqrt{3} + 4\sigma\right)}{2k}.\] График (рис. 2) — отрезок прямой от начала координат до точки \((x_{\text{кр}}, F_{\text{кр}})\).