Дополнительная сила для шарика в поле

Разложите поле \(B\) на составляющую, перпендикулярную плоскости новой окружности, и составляющую в её плоскости. Перпендикулярная составляющая даёт постоянную по направлению к центру силу, а составляющая в плоскости — силу, меняющуюся по времени.

Представим \(\vec B\) как сумму поля \(\vec B_{\parallel}\), лежащего в плоскости окружности, и поля \(\vec B_{\perp}\), перпендикулярного ей (рис.). Заметим, что \(|B_{\perp}| = |B_{\parallel}| = B\sqrt{2}/2\).

Каждой составляющей поля соответствует своя составляющая дополнительной силы: \(F_1\) и \(F_2\).

Компонента \(B_{\perp}\) даёт силу Лоренца \(F_{\text{л1}} = qB_{\perp}V = \dfrac{qBV\sqrt{2}}{2}\), направленную к центру окружности (рис.). Для равномерного движения по окружности нужна суммарная сила \(mV^2/R\). Из первого опыта \(qBV = mV^2/R\), поэтому сила \(F_1\), которую нужно добавить:

\[F_1 + F_{\text{л1}} = \frac{mV^2}{R} \quad\Rightarrow\quad F_1 = \frac{mV^2}{R} - qB_{\perp}V = qBV\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right).\] Эта сила постоянна и всегда направлена к центру окружности.

Компонента \(B_{\parallel}\) создаёт силу Лоренца \(F_{\text{л2}}\), перпендикулярную плоскости рисунка, которая меняется по величине, так как угол между \(B_{\parallel}\) и скоростью меняется. Максимум \(F_{\text{л2}} = qB_{\parallel}V = \dfrac{qBV\sqrt{2}}{2}\) достигается, когда \(\vec V\perp\vec B_{\parallel}\), а обращается в ноль, когда скорость параллельна \(\vec B_{\parallel}\). Дополнительная сила \(F_2\) полностью компенсирует \(F_{\text{л2}}\), поэтому меняется от нуля до \(\dfrac{qBV\sqrt{2}}{2}\). Минимум модуля суммарной дополнительной силы совпадает с \(F_1\), а максимум получается сложением взаимно перпендикулярных \(F_1\) и \(F_2^{\max}\) (рис.):

\[F_{\max} = \sqrt{F_1^2 + \left(F_2^{\max}\right)^2} = qBV\sqrt{\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}} = qBV\sqrt{2 - \sqrt{2}}.\]