Теплопередача через подвижный поршень

Из одинаковых давлений и объёмов следует разное количество вещества в отсеках. Докажите, что давление в процессе не меняется: полная энергия газа выражается через давление и суммарный объём. Тогда процесс в каждом отсеке изобарический, и тепло — это изменение энтальпии.

Одинаковые \(P\) и \(V\) при разных температурах возможны только при разном количестве вещества: \(PV = \nu_1RT_1 = \nu_2RT_2\), так что \(\nu_1 = \dfrac{PV}{RT_1}\), \(\nu_2 = \dfrac{PV}{RT_2}\).

При выравнивании температур теплота переходит из левого отсека в правый, а поршень смещается влево, сохраняя одинаковое давление в отсеках. Работа одного газа над другим в сумме равна нулю, а сосуд теплоизолирован, поэтому полная внутренняя энергия сохраняется. Энергия газа при промежуточном давлении \(P'\) и суммарном объёме \(2V\) равна \(3P'V\); приравнивая её начальному значению \(3PV\), получаем \(P' = P\). Значит, для каждого газа процесс изобарический, и теплоёмкость одноатомного газа при постоянном давлении равна \(\dfrac{5}{2}\nu R\).

Конечная температура находится из сохранения энергии: \[\frac{3RT}{2}\left(\nu_1 + \nu_2\right) = 3PV \quad\Rightarrow\quad T = \frac{2T_1T_2}{T_1 + T_2}.\] Левый газ охлаждается на \(T_1 - T\), отдавая теплоту \(\dfrac{5}{2}\nu_1R(T_1 - T)\): \[Q = \frac{5}{2}\nu_1R\left(T_1 - \frac{2T_1T_2}{T_1 + T_2}\right) = \frac{5PV\,(T_1 - T_2)}{2\,(T_1 + T_2)}.\] Эта же теплота получена правым газом. Важно не перепутать теплоёмкость при постоянном объёме (уменьшение внутренней энергии левого газа) и теплоту, протекшую через поршень, — последняя связана с работой, которую правый отсек совершает над левым.