Колебания кубика на нити

Расстояние от верхнего кубика до отверстия в поверхности при равновесном скольжении равно, очевидно, \(L = g/\omega^2\). Пусть после того, как дёрнули за нижний кубик, это расстояние увеличилось и в некоторый момент достигло максимального значения \(L + \Delta x\), где \(\Delta x \ll L\), а скорость верхнего кубика стала равна \(v'\). Поскольку при этом для верхнего кубика сохраняется величина \(m\cdot\omega L\cdot L = mv'(L + \Delta x)\) (момент количества движения или, иначе, момент импульса), то полная механическая энергия обоих кубиков в положении наибольшего отклонения равна \[E_1 = \dfrac{mv'^2}{2} + mg\Delta x = \dfrac{m\left(\dfrac{\omega L^2}{L + \Delta x}\right)^2}{2} + mg\Delta x.\] (потенциальная энергия отсчитывается от исходного равновесного положения нижнего кубика). Энергия обоих кубиков в момент прохождения положения равновесия равна \[E_2 = \dfrac{m(\omega L)^2}{2} + \dfrac{2mv^2}{2},\] так как верхний кубик одновременно участвует во вращательном и в поступательном движениях. По закону сохранения механической энергии \(E_1 = E_2\), поэтому \[2v^2 + \omega^2L^2 = \dfrac{\omega^2L^4}{(L + \Delta x)^2} + 2g\Delta x.\] Поскольку \(\Delta x \ll L\), то дробь \(\dfrac{1}{(L + \Delta x)^2}\) можно разложить по степеням \(\Delta x\) до квадратичных членов: \[\dfrac{1}{(L + \Delta x)^2} \approx \dfrac{1}{L^2} + A\cdot\Delta x + B\cdot\Delta x^2.\] (заметим, что при решении данной задачи разложения с точностью до членов первого порядка малости оказывается недостаточно). Найдём коэффициенты этого разложения \(A\) и \(B\), выполнив следующие преобразования: \[1 \approx \dfrac{1}{L^2}\left(L^2 + 2L\Delta x + \Delta x^2\right) + A\Delta x(L^2 + 2L\Delta x) + B\Delta x^2L^2,\] \[\Delta x\left(\dfrac{1}{L^2} + 2AL + BL^2\right) + \left(\dfrac{2}{L} + AL^2\right) = 0.\] Так как это соотношение должно выполняться при любом малом \(\Delta x\), то оба выражения в скобках должны равняться нулю: \[\dfrac{1}{L^2} + 2AL + BL^2 = 0,\quad \dfrac{2}{L} + AL^2 = 0.\] Отсюда \(A = -\dfrac{2}{L^3}\), \(B = \dfrac{3}{L^4}\). Подставляя коэффициенты \(A\) и \(B\) в уравнение, выражающее закон сохранения энергии, получаем: \[2v^2 + \omega^2L^2 = \omega^2L^4\left(\dfrac{1}{L^2} - \dfrac{2\Delta x}{L^3} + \dfrac{3\Delta x^2}{L^4}\right) + 2g\Delta x,\] или \[2v^2 + \omega^2L^2 = \omega^2L^2 + 2(g - \omega^2L)\Delta x + 3\omega^2\Delta x^2,\] откуда с учётом условия равновесного скольжения имеем: \[2v^2 = 3\omega^2\Delta x^2.\] Квадрат круговой частоты колебаний определяется, как известно, отношением коэффициентов при \(\Delta x^2\) и при \(v^2\), поэтому искомая частота равна \(\Omega = \omega\sqrt{3/2}\).