Три шарика

Перейдите в систему центра масс: в ней сохраняются энергия и момент импульса. В момент наименьшего расстояния между \(A\) и \(C\) угол между стержнями не меняется, и три шарика на мгновение вращаются как одно твёрдое тело.

\(d=l\sqrt{\dfrac52}\approx 1{,}58\,l\).

Что происходит. В невесомости внешних сил нет, поэтому центр масс системы летит равномерно, а в системе центра масс сохраняются энергия и момент импульса. Удар раскручивает систему и заставляет стержни складываться, образуя треугольник с вершиной в \(B\); затем они раскладываются обратно, и так далее. Главная идея: в момент наименьшего расстояния \(AC\) угол между стержнями не меняется, и три шарика на мгновение движутся как твёрдое тело, вращающееся вокруг центра масс. Для такого движения энергия и момент импульса связаны моментом инерции, \(I=L^2/(2E)\), а момент инерции выражается через искомое \(d\).

Обозначения. \(v\) — скорость шарика \(A\) сразу после удара. Ось \(y\) направим вдоль \(v\), ось \(x\) — вдоль стержней от \(C\) к \(A\) (рис. 1). \(O\) — центр масс системы. В любой момент \(AB=BC=l\); угол между стержнями при шарнире \(B\) обозначим \(2\varphi\), расстояние \(AC\) — \(d\) (рис. 2). В начале \(\varphi=\pi/2\) и \(d=2l\).

1. Скорости сразу после удара. Стержень невесом, а шарнир не имеет трения, поэтому стержень действует на шарик только силой вдоль стержня. Удар по шарику \(A\) перпендикулярен стержню, и передать его шарикам \(B\) и \(C\) нечем. Значит, сразу после удара \(v_A=v\), \(v_B=v_C=0\) (рис. 1, слева); длина стержня \(AB\) при этом не меняется, так как скорость \(A\) перпендикулярна стержню.

Рис. 1. Скорости шариков сразу после удара: в лабораторной системе (слева) и в системе центра масс (справа).

2. Система центра масс. Полный импульс системы равен \(mv\), масса — \(3m\), поэтому центр масс движется со скоростью \(v/3\) вдоль \(y\), и внешних сил нет, так что эта скорость постоянна. Система отсчёта, связанная с центром масс, движется равномерно и потому инерциальна: в ней выполняются законы сохранения энергии и момента импульса. Скорости шариков в ней сразу после удара (рис. 1, справа): \[u_A=v-\frac v3=\frac{2v}{3},\qquad u_B=u_C=-\frac v3 .\] Центр масс в этот момент совпадает с шариком \(B\) (шарики \(A\) и \(C\) симметричны относительно него).

Энергия в системе центра масс: \[E=\frac m2\Bigl(\frac{4v^2}{9}+\frac{v^2}{9}+\frac{v^2}{9}\Bigr)=\frac{mv^2}{3}.\] Момент импульса относительно центра масс (точки \(B\) в начальный момент): шарик \(B\) момента не даёт (плечо равно нулю), шарики \(A\) и \(C\) лежат по разные стороны от \(O\) и движутся в противоположные стороны, поэтому их вклады складываются: \[L=m\cdot\frac{2v}{3}\cdot l+m\cdot\frac v3\cdot l=mvl .\] Обратите внимание: энергию и момент импульса нужно брать именно в системе центра масс. В лабораторной системе энергия \(mv^2/2\) включает в себя ещё энергию поступательного движения центра масс, \(\frac{3m}{2}\left(\frac v3\right)^2=\frac{mv^2}{6}\), которая во вращении и сближении шариков не участвует.

3. Момент инерции через стороны треугольника. Три шарика образуют равнобедренный треугольник \(ABC\) (рис. 2). Момент инерции относительно центра масс нужно выразить через \(d\). Для системы точек с массами \(m_i\) и радиус-векторами \(\vec r_i\) раскроем скобки: \[\sum_{i<j} m_im_j(\vec r_i-\vec r_j)^2=\frac12\sum_{i,j}m_im_j\bigl(r_i^2+r_j^2-2\vec r_i\!\cdot\!\vec r_j\bigr)=M\sum_i m_ir_i^2-\Bigl|\sum_i m_i\vec r_i\Bigr|^2 ,\] где \(M=\sum m_i\). Начало отсчёта возьмём в центре масс: тогда \(\sum m_i\vec r_i=0\), а \(\sum m_ir_i^2=I\) — момент инерции относительно центра масс. Получаем \[I=\frac{1}{M}\sum_{i<j}m_im_j\,r_{ij}^2 .\] У нас три пары: \(AB\), \(BC\) длиной \(l\) и \(AC\) длиной \(d\), \(M=3m\): \[I=\frac{m^2}{3m}\bigl(l^2+l^2+d^2\bigr)=\frac m3\bigl(2l^2+d^2\bigr). \tag{1}\]

Рис. 2. Произвольный момент времени: треугольник \(ABC\) равнобедренный, \(AB=BC=l\), угол при \(B\) равен \(2\varphi\), \(AC=d=2l\sin\varphi\).

4. Где расстояние между \(A\) и \(C\) минимально. Расстояние \(d=2l\sin\varphi\) в начале равно \(2l\). Рассмотрим момент, когда \(d(t)\) принимает наименьшее значение. Тогда либо \(\dot d=0\), то есть \(\dot\varphi=0\) (значение \(\varphi=\pi/2\) даёт наибольшее \(d=2l\), а не наименьшее), либо \(\varphi\) достигло граничного значения \(\varphi=0\): стержни сложены, \(A\) и \(C\) совпали. Покажем, что второй случай невозможен.

Для любой конфигурации в системе центра масс момент импульса не превосходит суммы \(\sum m_i r_i |\vec u_i|\), а по неравенству Коши — Буняковского \[|L|\le\sum_i m_ir_i|\vec u_i|\le\sqrt{\sum_i m_ir_i^2}\,\sqrt{\sum_i m_iu_i^2}=\sqrt{I\cdot 2E}, \qquad\text{то есть}\qquad E\ge\frac{L^2}{2I}. \tag{2}\] При \(\varphi=0\) по формуле (1) \(I=\frac23ml^2\), и правая часть (2) равна \(\dfrac{m^2v^2l^2}{2\cdot\frac23 ml^2}=\dfrac{3mv^2}{4}\), что больше \(E=\dfrac{mv^2}{3}\). Значит, стержни полностью сложиться не могут, и в точке наименьшего расстояния \(\dot\varphi=0\).

5. Система в точке минимума — твёрдое тело. Если \(\dot\varphi=0\), то и \(\dot d=0\): все три стороны треугольника \(ABC\) в этот момент не меняются, значит, шарики движутся как одно твёрдое тело. Полный импульс в системе центра масс равен нулю, поэтому это чистое вращение вокруг \(O\) с угловой скоростью \(\omega\) (рис. 3). Для твёрдого тела \[E=\frac{I\omega^2}{2},\qquad L=I\omega,\qquad\text{откуда}\qquad I=\frac{L^2}{2E}=\frac{m^2v^2l^2}{2\,mv^2/3}=\frac32\,ml^2 . \tag{3}\]

Рис. 3. Момент наименьшего расстояния: треугольник вращается как твёрдое тело вокруг центра масс \(O\); скорость каждого шарика перпендикулярна его радиусу \(r_i\) и равна \(\omega r_i\).

6. Ответ. Приравняем (1) и (3): \[\frac m3\bigl(2l^2+d^2\bigr)=\frac32\,ml^2\ \Longrightarrow\ d^2=\frac92\,l^2-2l^2=\frac52\,l^2, \qquad d=l\sqrt{\frac52}\approx 1{,}58\,l .\]

Проверка. Размерность: \(d\) — длина, как и \(l\). Диапазон: \(l<d<2l\), как и должно быть между «сложенными» и «разложенными» стержнями. Неравенство (2) вместе с (1) даёт сразу \(I\ge\frac32ml^2\), то есть \(d\ge l\sqrt{5/2}\) во все моменты времени: найденное значение — нижняя граница, и она достигается, когда вся энергия приходится на вращение.

Второй способ — через расстояния до центра масс. В равнобедренном треугольнике с высотой \(h=l\cos\varphi=\sqrt{3/8}\,l\) получаем \(r_B=\frac23h=\frac{l}{\sqrt6}\), \(r_A=r_C=\sqrt{\left(\frac d2\right)^2+\left(\frac h3\right)^2}=\sqrt{\frac23}\,l\) (рис. 3), и \[I=m\bigl(r_A^2+r_B^2+r_C^2\bigr)=m\Bigl(\frac23+\frac16+\frac23\Bigr)l^2=\frac32\,ml^2 ,\] как в (3). Скорости в этот момент: \(\omega=\dfrac LI=\dfrac{2v}{3l}\), \(v_A=v_C=\omega r_A\approx0{,}54\,v\), \(v_B=\omega r_B\approx0{,}27\,v\), и энергия \(\dfrac12I\omega^2=\dfrac{mv^2}{3}\), как и в начале.

Третья проверка — численное решение уравнений движения (уравнения Лагранжа для четырёх координат: положение \(B\) и углы обоих стержней). Наименьшее расстояние \(d_{\min}=1{,}5811\,l\) (с точностью до пятого знака совпадает с \(l\sqrt{5/2}\)), достигается при \(t_*\approx2{,}35\,l/v\); через \(4{,}7\,l/v\) шарики снова выстраиваются на прямой, \(d=2l\) (рис. 4 и 5).

Рис. 4. Траектории шариков в системе центра масс от \(t=0\) до момента \(t_*\) наименьшего расстояния (расчёт); сплошные стержни показывают конфигурацию в момент \(t_*\), пунктир — начальную.

Рис. 5. Расстояние \(d\) между \(A\) и \(C\) в единицах \(l\) как функция времени (расчёт); ось \(d/l\) начинается с \(1{,}4\). Колебания идут между \(2l\) и \(l\sqrt{5/2}\).

Физический смысл: момент импульса \(L=mvl\) обязан сохраняться, поэтому часть энергии всегда остаётся во вращении системы, как бы ни сложились стержни; на движение шариков друг к другу остаётся только остаток энергии, и стержни не могут сложиться полностью.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.