Лестница

Номер ступеньки — это глубина, на которую опустилась поверхность, в единицах \(h\). В пункте б сдвиньте одну ступеньку и посмотрите, как меняется энергия: объём кристалла постоянен, поэтому вместе с ней должна сдвинуться другая ступенька.

а) \(d_n\approx\dfrac23\lambda\,n^{-1/3}=30~\text{мкм}\cdot n^{-1/3}\);  б) \(\nu=-2\) (то есть \(E\propto 1/d^2\)).

Что происходит. Ступеньки — это линии, параллельные оси \(z\), и каждая из них опускает поверхность на \(h\). Профиль \(y=-(x/\lambda)^{3/2}h\) с ростом \(x\) становится круче, поэтому ступеньки идут всё чаще: расстояние между ними убывает. Угол наклона мал: \(\phi\approx h/d_n\sim10^{-5}\) даже у первых ступенек, так что ступеньки действительно редкие, а на рисунке высота \(h\) сильно преувеличена. Идея пункта а — считать, на какой глубине лежит \(n\)-я ступенька. Идея пункта б — в равновесии энергия взаимодействия ступенек минимальна при постоянном объёме кристалла: сдвинуть одну ступеньку можно, только сдвинув другую в обратную сторону, поэтому «сила» на каждую ступеньку обязана быть одинаковой, и из этого определится \(\nu\).

Обозначения. \(x_n\) — координата \(n\)-й ступеньки, \(d_n=x_{n+1}-x_n\) — расстояние между \(n\)-й и \((n+1)\)-й, \(L\) — длина ступенек вдоль оси \(z\). Ступеньки считаем прямыми параллельными линиями.

а) Расстояние между ступеньками. Поверхность в области \(n\)-й ступеньки опустилась на \(n\) высот: на лестнице нижний край \(n\)-й ступеньки лежит на профиле при \(y(x_n)=-nh\) (рис. 1). Поэтому \[n=\Bigl(\frac{x_n}{\lambda}\Bigr)^{3/2},\qquad x_n=\lambda\,n^{2/3}.\] Расстояние до следующей ступеньки: \[d_n=x_{n+1}-x_n=\lambda\bigl[(n+1)^{2/3}-n^{2/3}\bigr].\] При \(n\gg1\) разность заменим производной по \(n\) (изменение \(n\) на единицу мало по сравнению с \(n\)): \[d_n\approx\frac{dx_n}{dn}=\frac23\,\lambda\,n^{-1/3}=\frac23\cdot45~\text{мкм}\cdot n^{-1/3}=30~\text{мкм}\cdot n^{-1/3}.\]

Рис. 1. Профиль \(y=-(x/\lambda)^{3/2}h\) (бирюзовая линия) и лестница из ступенек с номерами \(1,\dots,7\); по горизонтали отложено \(x/\lambda\), по вертикали — \(y/h\). Нижние углы ступенек лежат на профиле, расстояние \(d_n\) уменьшается с номером. Высота \(h\) увеличена примерно в \(3\cdot10^{4}\) раз.

Проверка а. Точная формула даёт \(d_1=26{,}4\) мкм, \(d_{10}=13{,}70\) мкм, \(d_{100}=6{,}453\) мкм, а приближение \(30\,n^{-1/3}\) — \(30\), \(13{,}92\) и \(6{,}463\) мкм (рис. 2): расхождение \(13\,\%\) при \(n=1\), \(1{,}6\,\%\) при \(n=10\) и \(0{,}2\,\%\) при \(n=100\), как и должно быть при \(n\gg1\). Размерность: \(\lambda\) — длина. Смысл: у края грани (малые \(n\)) профиль почти плоский и ступеньки редкие, а дальше от неё профиль круче и ступеньки идут гуще, \(d_n\propto n^{-1/3}\).

Рис. 2. Расстояние между соседними ступеньками: точки — точная формула \(\lambda[(n+1)^{2/3}-n^{2/3}]\), линия — приближение \(30~\text{мкм}\cdot n^{-1/3}\).

б) Показатель \(\nu\). Полная энергия взаимодействия — сумма по соседним парам, \(E=\sum_n\mu d_n^{\nu}\). Ступенька \(n\) взаимодействует с \((n-1)\)-й на расстоянии \(d_{n-1}\) и с \((n+1)\)-й на расстоянии \(d_n\). Сдвинем её по \(x\) на малую величину \(\delta\) (рис. 3): \(d_{n-1}\) станет \(d_{n-1}+\delta\), а \(d_n\) станет \(d_n-\delta\). Изменение энергии в первом порядке по \(\delta\): \[\varepsilon_n(\delta)=\mu\bigl[(d_{n-1}+\delta)^{\nu}-d_{n-1}^{\nu}+(d_n-\delta)^{\nu}-d_n^{\nu}\bigr]\approx\mu\nu\bigl(d_{n-1}^{\nu-1}-d_n^{\nu-1}\bigr)\delta .\]

Объём кристалла сохраняется, а смещение ступеньки высотой \(h\) и длиной \(L\) на \(\delta\) меняет объём на \(hL\delta\) (одна терраса удлиняется, соседняя укорачивается). Поэтому разрешены только такие деформации, где одну ступеньку \(n\) сдвигают на \(+\delta\), а другую, \(m\), — на \(-\delta\) (рис. 3). В равновесии энергия минимальна, поэтому её изменение в первом порядке по \(\delta\) равно нулю для любой пары \(n\) и \(m\): \[\varepsilon_n(\delta)+\varepsilon_m(-\delta)=0 \quad\Longrightarrow\quad d_{n-1}^{\nu-1}-d_n^{\nu-1}=\text{const}\quad\text{(не зависит от }n).\] Обратите внимание: нулевой «силы» на каждой ступеньке по отдельности не требуется — сила на всех ступеньках одна и та же, как давление в жидкости, вынужденно сохраняющей объём. Другая возможность — потребовать равенства нулю по отдельности — привела бы к \(d_{n-1}=d_n\) и противоречит убыванию \(d_n\).

Рис. 3. Допустимая деформация: ступенька \(n\) сдвигается вправо на \(\delta\), ступенька \(m\) — влево на \(\delta\); объём кристалла не меняется. Расстояния между соседями меняются так, как показано.

Подставим \(d_n\propto n^{-1/3}\). Тогда \(d_n^{\nu-1}\propto n^{(1-\nu)/3}\), а разность соседних значений при \(n\gg1\) равна минус производной по \(n\): \[d_{n-1}^{\nu-1}-d_n^{\nu-1}\approx-\frac{d}{dn}\,d_n^{\nu-1}\propto-\frac{1-\nu}{3}\,n^{\frac{1-\nu}{3}-1}.\] Это не зависит от \(n\) только если показатель степени равен нулю: \[\frac{1-\nu}{3}-1=0\quad\Longrightarrow\quad\nu=-2 .\] Значения \(\nu=1\) (тогда \(E=\mu\sum d_n\) определяется лишь крайними ступеньками) и \(\nu=0\) (\(E=\mu\cdot\text{число пар}\)) тоже удовлетворяют условию, но тривиально: энергия при них вообще не зависит от положения ступенек, и равновесный профиль они не определяют. Остаётся \(\nu=-2\): \[E(d)=\frac{\mu}{d^{2}} ,\] то есть ступеньки взаимодействуют как диполи в двумерной системе (при \(\mu>0\) — отталкиваются).

Проверка б. При \(\nu=-2\) величина \(d_n^{-3}=\dfrac{27}{8\lambda^3}\,n\) растёт линейно с \(n\), и разность соседних значений равна \(-\dfrac{27}{8\lambda^3}=-3{,}7037\cdot10^{-5}\) мкм\(^{-3}\) при любом \(n\). Расчёт по точным \(d_n\) даёт \(-3{,}7058\cdot10^{-5}\) при \(n=10\), \(-3{,}70372\cdot10^{-5}\) при \(n=100\) и \(-3{,}703704\cdot10^{-5}\) при \(n=1000\) — постоянство с ростом \(n\) улучшается. Для других \(\nu\) разность \(f_n=d_{n-1}^{\nu-1}-d_n^{\nu-1}\) степенным образом зависит от \(n\): при \(\nu=-5\) она растёт как \(n\), при \(\nu=-1\) спадает как \(n^{-1/3}\) (рис. 4); только при \(\nu=-2\) график горизонтален. Размерность: \(\nu\) безразмерно.

Рис. 4. Величина \(f_n=d_{n-1}^{\nu-1}-d_n^{\nu-1}\), нормированная на значение при \(n=50\), для трёх значений \(\nu\) (расчёт по точным \(d_n\)). Условие равновесия выполняется только при \(\nu=-2\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.