Соленоид

Вода диамагнитна и выталкивается из сильного поля, поэтому в равновесии давление в ней там, где поле сильнее, меньше. Свяжите перепад давления с индукцией так же, как выводят закон Бернулли для покоящейся жидкости, считая магнитную энергию аналогом энергии в поле тяжести.

\(I=\dfrac lN\sqrt{\dfrac{2p_0}{-\chi\mu_0}}\approx 4{,}4\) кА (индукция в катушке при этом \(B\approx 168\) Тл).

Что происходит. Вода диамагнитна (\(\chi<0\)): в магнитном поле каждая молекула превращается в маленький магнитный диполь, направленный против поля, и такой диполь выталкивается из области сильного поля в область слабого. Вода в пробирке при этом остаётся в механическом равновесии: магнитная сила уравновешена разностью давлений. Значит, где поле сильнее, там давление ниже. Чем больше ток, тем больше перепад давлений, и когда в середине катушки давление падает до давления насыщенного пара воды, вода там закипает — температура воды не меняется, кипение вызвано падением давления. Главная идея: найти связь перепада давления с индукцией, как при выводе закона Бернулли, где вместо плотности потенциальной энергии в поле тяжести \(\rho gh\) стоит плотность энергии магнитного взаимодействия.

Обозначения. Ось \(z\) направим вверх вдоль оси пробирки, начало — в середине катушки (рис. 1). \(B\) — индукция в данной точке воды, \(p\) — давление в ней, \(p_0\) — давление на поверхности воды, где поле практически отсутствует: поле соленоида на расстоянии \(0{,}3\) м от середины в тысячи раз слабее, чем внутри, и \(B\approx0{,}02\) Тл.

1. Приближения.

• Давление столба воды над катушкой \(\rho gh\approx 10^3\cdot 9{,}8\cdot(0{,}2\text{--}0{,}4)\) Па \(\approx 2\)–\(4\) кПа, то есть 2–4 % от \(p_0\): пренебрегаем.

• Давление насыщенного пара воды при 293 К около 2,3 кПа, тоже около 2 % от \(p_0\): пренебрегаем. Условие кипения запишем как \(p=0\).

• Соленоид длинный (\(l/d=20\)), поэтому в его середине \(B=\mu_0NI/l\); восприимчивость воды \(|\chi|\sim10^{-5}\) ничтожна, и сама вода поле не меняет.

2. Где давление минимально. Давление в воде тем ниже, чем сильнее поле (показано ниже), а \(B\) максимальна в середине соленоида, где поле практически однородно почти по всей длине катушки и спадает до половины лишь у её концов (рис. 1). Значит, вода закипит именно внутри катушки.

Рис. 1. Слева — схема пробирки с катушкой (по вертикали 1 см \(=6\) см; ширина не в масштабе). Справа — давление на оси в зависимости от \(z\) при токе \(4{,}44\) кА (расчёт по полю конечного соленоида): оно почти нулевое во всей катушке, у её концов равно \(0{,}75\,p_0\) и за ними быстро возвращается к \(p_0\).

3. Связь давления и индукции. Плотность энергии магнитного поля в вакууме равна \(B^2/(2\mu_0)\), а в среде с проницаемостью \(\mu_r\) при той же индукции — \(B^2/(2\mu_r\mu_0)\). Поэтому наличие воды в области с индукцией \(B\) добавляет к энергии поля на единицу объёма \[\Delta w=\frac{B^2}{2\mu_0}\Bigl(\frac1{\mu_r}-1\Bigr)>0 .\]

Проведём мысленный опыт (рис. 2). Вытесним малый объём воды \(V\) из окрестности точки \(P\), где индукция \(B\) и давление \(p\), и разместим тот же объём тонким слоем на поверхности воды, где поле практически равно нулю. Сравнивая начальное и конечное состояния, видим, что энергия взаимодействия воды с полем уменьшилась на \(\Delta w\,V\).

Рис. 2. Мысленный опыт: объём \(V\) воды переносится из точки \(P\) в сильном поле на поверхность, где поля нет.

Теперь подсчитаем механическую работу. Чтобы вытеснить воду из окрестности \(P\), где давление равно \(p\), над ней нужно совершить работу против этого давления, \(pV\). У поверхности вытесненный объём приподнимает границу воды, и вода совершает работу против атмосферного давления, \(p_0V\). Итого вода совершает полезную работу \((p_0-p)V\) — за счёт убыли энергии взаимодействия с полем. Запишем закон сохранения энергии: \[\Delta w\,V=(p_0-p)V\quad\Longrightarrow\quad p_0=p+\frac{B^2}{2\mu_0}\Bigl(\frac1{\mu_r}-1\Bigr).\] Это уравнение Бернулли для жидкости в покое: плотность энергии магнитного взаимодействия \(\Delta w\) играет ту же роль, что \(\rho gh\) в поле тяжести.

Упростим: \(\dfrac1{\mu_r}-1=-\dfrac{\chi}{\mu_r}\approx-\chi\), так как \(|\chi|\ll1\). Получаем \[p_0=p-\frac{\chi B^2}{2\mu_0},\qquad\text{то есть}\qquad p=p_0-\frac{|\chi|B^2}{2\mu_0}. \tag{1}\] Обратите внимание: у диамагнетика \(\chi<0\), и давление в поле уменьшается; у парамагнетика было бы наоборот — жидкость втягивалась бы в поле и давление росло.

4. Условие кипения и индукция. Вода кипит, когда в точке максимального поля \(p=0\) (приближение 1). Из (1): \[B=\sqrt{\frac{-2\mu_0p_0}{\chi}}=\sqrt{\frac{2\cdot12{,}57\cdot10^{-7}\cdot1{,}01\cdot10^{5}}{9{,}04\cdot10^{-6}}}\ \text{Тл}\approx168~\text{Тл}.\]

Рис. 3. Давление в воде как функция индукции по формуле (1) и соответствующий ток в длинном соленоиде. Давление обращается в нуль при \(B\approx168\) Тл, \(I\approx4{,}4\) кА.

5. Ток. Из \(B=\mu_0NI/l\): \[I=\frac{Bl}{\mu_0N}=\frac lN\sqrt{\frac{2p_0}{-\chi\mu_0}}= \frac{0{,}20}{6000}\cdot\sqrt{\frac{2\cdot1{,}01\cdot10^{5}}{9{,}04\cdot10^{-6}\cdot12{,}57\cdot10^{-7}}}\ \text{А} =3{,}33\cdot10^{-5}\cdot1{,}33\cdot10^{8}\ \text{А}\approx4{,}4\ \text{кА}.\]

Проверка. Размерность: \(B^2/\mu_0\) имеет размерность давления, поэтому \(\sqrt{\mu_0p_0}\) — размерность индукции. При \(\chi\to0\) нужный ток неограниченно растёт: чем слабее диамагнетизм, тем труднее вскипятить воду полем.

Второй способ — сила, действующая на воду. Магнитный момент единицы объёма \(M=\chi B/\mu_0\), а на малый объём в неоднородном поле действует сила на единицу объёма \(f=M\,\dfrac{dB}{dz}=\dfrac{\chi}{2\mu_0}\dfrac{d(B^2)}{dz}\) (рис. 4; сила тяжести не рассматривается). Условие равновесия малого объёма: \(p\,S+f\,S\,dz=(p+dp)S\), то есть \(\dfrac{dp}{dz}=f=\dfrac{\chi}{2\mu_0}\dfrac{d(B^2)}{dz}\). Интегрируя от поверхности (\(B=0\), \(p=p_0\)) к точке с индукцией \(B\), получаем \(p=p_0+\dfrac{\chi B^2}{2\mu_0}\) — то же самое, что (1).

Рис. 4. Малый объём воды \(S\,dz\) в неоднородном поле: силы давления снизу и сверху и магнитная сила \(f\,S\,dz\) (направлена к более слабому полю).

Поправки к приближениям. Гидростатическое давление в середине катушки (глубина около \(0{,}3\) м) \(\rho gH\approx2{,}9\) кПа и давление насыщенного пара \(2{,}3\) кПа почти компенсируют друг друга: условие \(p=p_{\text{нас}}\) даёт \(-\chi B^2/2\mu_0=p_0+\rho gH-p_{\text{нас}}\approx101{,}6\) кПа вместо \(101\) кПа, то есть ток больше на \(0{,}3\) %. Конечная длина катушки уменьшает индукцию в середине: \(B_{\text{ц}}=B_\infty\dfrac{l/2}{\sqrt{(l/2)^2+R^2}}=0{,}9988\,B_\infty\) при радиусе \(R=0{,}5\) см, то есть ещё \(+0{,}1\) %. Вместе \(I\approx4{,}46\) кА, что в пределах точности приближений совпадает с \(4{,}4\) кА. Физический смысл: индукция \(168\) Тл на два порядка выше полей обычных лабораторных электромагнитов, поэтому в условии сказано, что нужный ток может быть чрезмерным для современной техники.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.