Магнитные черные ящики

Решение

A1.

A2. Чтобы рассчитать значение чувствительности датчика \(\gamma\), можно снять зависимость показаний датчика \(V\) от индукции магнитного поля \(B\) в центре катушки. Значение индукции \(B\) определяется геометрическими параметрами катушки (\(L=(34 \pm 1)~мм\), \(R=(10 \pm 1)~мм\), \(N=85\), которые измеряем/считаем непосредственно), а также силой тока \(I\) в витках катушки (\(B \sim I\)). Соберем схему, приведенную на рисунке 3. Помещаем датчик магнитного поля в геометрический центр катушки. Будем менять напряжение \(U\) на источнике в пределах \([0.0 ; 0.4]~В\) (чтобы не сжечь катушку). Снимем зависимость показаний датчика \(V\) от силы тока \(I\) (ток измеряем по показаниям источника). Погрешности прямых измерений \(V\) и \(I\) малы.

Рис. 3. Электрическая схема для измерения чувствительности датчика Холла

Рис. 4. График зависимости показаний датчика Холла \(V\) от силы тока в катушке \(I\)

Погрешность оценим следующим образом

\[\varepsilon_{\gamma}=\varepsilon_{k}+\varepsilon_{\sqrt{L^{2}+4 R^{2}}}=\varepsilon_{k}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{L}^{2}}{\left(1+4 R^{2} / L^{2}\right)^{2}}+\frac{\varepsilon_{R}^{2}}{\left(1+L^{2} / 4 R^{2}\right)^{2}}} \approx 5.8 \%\]Итоговый ответ:

Ответ:

\[\gamma=(90 \pm 5)~мВ /мТл\]

A3. Основная концептуальная идея определения направления магнитного диполя состоит в том, чтобы изобразить направления линий индукции магнитного поля снаружи цилиндра. Получив схему линий индукции поля похожую на то, что изображено на рисунке 5, положение и направление магнитного диполя однозначно определяются. Общий экспериментальный подход будет заключаться в том, чтобы при различных положениях/поворотах цилиндра определить направление поля в выбранной точке. Чтобы определить направление поля, можно находить такое положение датчика Холла, когда он будет показывать ноль, тогда поле будет направлено вдоль датчика.

Рис. 5. Линии индукции поля для магнитного диполя

Однако при первых же измерениях становится ясно, что можно воспользоваться особенностями и симметричностью линий поля в различных проекциях/сечениях. Например, ящик «В» можно поставить на основание цилиндра, и измерять поле в произвольной точке вблизи цилиндра, вращая цилиндр вокруг своей оси. Поле не будет меняться (см. рисунок 6). Это можно наблюдать для любого положения датчика по высоте вдоль образующей цилиндра. Таким образом заключаем, что магнитный момент в ящике «В» направлен вдоль оси цилиндра.

Рис. 6. Схематичное изображение метода определения направления магнитного момента

Зарисуем ответ (см. рисунок 7).

Ответ:

Рис. 7. Направление магнитного момента в ящике <<В>>

Для ящика «А» можно повторить эксперимент аналогичный ящику «В», разместив датчик так, чтобы он измерял радиальную компоненту индукции поля. Показания датчика в зависимости от угла поворота будут иметь вид, показанный на рисунке 8. Видно, что поле обнуляется дважды за период. Это соответствует тому, что магнитный момент в этот момент перпендикулярен радиус-вектору, направленному от оси цилиндра на датчик. Подобное поведение наблюдается для любого положения датчика по высоте вдоль образующей цилиндра, меняется лишь амплитуда этого изменения. Таким образом заключаем, что магнитный момент в ящике «А» направлен перпендикулярно оси цилиндра. Так как. амплитудные значения зависимости \(V(\varphi)\) одинаковы, заключаем, что магнитный момент находится на оси цилиндра.

Рис. 8. Изменение показаний датчика \(V\) при вращении цилиндра <<А>>

Отыскав на боковой поверхности цилиндра наибольшее значение \(V\), а следовательно, и \(B\), зарисуем ответ (см. рисунок 9).

Ответ:

Рис. 9. Направление магнитного момента в ящике <<А>>

A4. Для ящика «А», выполняя задание A3, при нахождении максимального значения \(B\) на поверхности цилиндра фактически было найдено и положение магнитного момента:

Ответ:

\[h_{A}=(35 \pm 2)~мм\]

A5. Положение магнитного момента в ящике «В» найдем следующим образом. Положим цилиндр горизонтально. Снимем зависимость показаний датчика \(V\) от расстояния между датчиком и основанием цилиндра вдоль его оси (см. рисунок 10). Погрешность измерения координаты \(\Delta x=1~мм\), погрешностью показаний датчика \(V\) пренебрежем.

Рис. 10. Схематичное изображение метода для определения положения магнитного момента в ящике <<В>>, а также для определения магнитных моментов в обоих ящиках

Для поля вдоль направления магнитного момента имеем:\[B=\frac{2 \mu_{0} \mu}{4 \pi r^{3}} \implies \frac{V}{\gamma}=\frac{\mu_{0} \mu}{2 \pi\left(h_{B}+x\right)^{3}} \implies V^{-1 / 3}=\left(\frac{2 \pi}{\mu_{0} \mu \gamma}\right)^{1 / 3}\left(h_{B}+x\right)\]

Рис. 11. Линеаризированный график зависимости показаний датчика Холла \(V\) от расстояния до торца цилиндра \(x\)

Таким образом, график в координатах \(V^{-1 / 3}(x)\) будет линейным (см. рисунок 11).

При этом угловой коэффициент будет \(k=\left(\dfrac{2 \pi}{\mu_{0} \mu \gamma}\right)^{1 / 3}=(71 \pm 2) \cdot 10^{-3}~В^{-1/3}/мм\), а свободный член \(b=k \cdot h_{B}=(2.45 \pm 0.05)~В^{-1/3}\). Их погрешности посчитаны МНК. Зная \(k\), найдем магнитный момент \(\mu_{B}=\dfrac{2 \pi}{\mu_{0} \gamma k^{3}}=0.153~А \cdot м^2\). Погрешность оценим следующим образом \(\varepsilon_{\mu B}=3 \varepsilon_{k}+\varepsilon_{\gamma} \approx 15 \%\). Зная \(k\) и \(b,\) найдем \(h_{B}=b / k=34.3~мм\). Погрешность оценим следующим образом \(\varepsilon_{h B}=\varepsilon_{b}+\varepsilon_{k} \approx 5 \%\). Проведя аналогичные измерения для ящика «А», определим и его магнитный момент \(\mu_A\). Отметим, что для повышения точности можно было снять зависимость вдоль оси цилиндра/направления магнитного момента с другой стороны цилиндра и полученные результаты усреднить.

Ответ:

\[h_{B}=(34.3 \pm 1.7)~мм\].

A6. Итоговые ответы:

Ответ:

\[\mu_{B}=(0.15 \pm 0.02)~А \cdot м^2,\quad \mu_{A}=(0.21 \pm 0.03)~А \cdot м^2\].

Источник: pho.rs/p/4236.