В задаче требуется оценка погрешностей! Внимание! Не повреждайте трубку и не оставляйте на ней пометок! } Часть 1. Теоретическая Упругие свойства твердого тела зависят как от геометрических параметров конкретного образца, так и от свойств вещества, из которого он состоит. Для описания упругих свойств при малых деформациях достаточно двух характеристик: модуля Юнга \(E\) и коэффициента Пуассона \(\mu\). Модуль Юнга определяется как коэффициент пропорциональности в формуле, связывающей напряжение \(\sigma\), возникающее в образце при его продольном растяжении, и относительное удлинение образца \(\varepsilon_\|=\Delta l / l\) (см. рисунок 1): \[\sigma=E \varepsilon_\|, \qquad(1)\] где по определению \(\sigma=F_n/S\). Рис. 1. Упругие деформации 1.1. Запишите выражение для коэффициента жесткости \(k\) бруска размерами \(b \times h \times l\), изготовленного из материала с модулем Юнга \(E\) при его растяжении вдоль стороны длиной \(l\). Для описания деформации тела в направлении, перпендику

1.1: \(k=E bh/l\); 1.2: \[\frac{\Delta V}{V} \approx \Delta \ln (V)=\Delta \ln (b)+\Delta \ln (h)+\Delta \ln (l) \approx \frac{\Delta b}{b}+\frac{\Delta h}{h}+\frac{\Delta l}{l}=\frac{\Delta l}{l}(1-2 \mu) \qquad(3)\] ; 2.1: \[a=\frac{m_1}{\rho l_1}=(11.71 \pm 0.04)~мм^2. \qquad(4)\] \[A=\frac{m_2}{\rho l_2}=(27.1 \pm 4.0)~мм^2 \qquad(5)\] ; 2.2: \[E=\left(A k_1\right)^{-1}=(3.7 \pm 0.2) \cdot 10^6~Па. \qquad(6)\]

Упругость трубки — IEPhO 2018/19, 10 кл., задача 4

Упругость трубки
IEPhO 2018/19, 10 кл.
7/10
В задаче требуется оценка погрешностей!

Внимание! Не повреждайте трубку и не оставляйте на ней пометок!}

Часть 1. Теоретическая

Упругие свойства твердого тела зависят как от геометрических параметров конкретного образца, так и от свойств вещества, из которого он состоит. Для описания упругих свойств при малых деформациях достаточно двух характеристик: модуля Юнга \(E\) и коэффициента Пуассона \(\mu\).

Модуль Юнга определяется как коэффициент пропорциональности в формуле, связывающей напряжение \(\sigma\), возникающее в образце при его продольном растяжении, и относительное удлинение образца \(\varepsilon_\|=\Delta l / l\) (см. рисунок 1):

\[\sigma=E \varepsilon_\|, \qquad(1)\]где по определению \(\sigma=F_n/S\).

Рис. 1. Упругие деформации

1.1. Запишите выражение для коэффициента жесткости \(k\) бруска размерами \(b \times h \times l\), изготовленного из материала с модулем Юнга \(E\) при его растяжении вдоль стороны длиной \(l\).

Для описания деформации тела в направлении, перпендикулярном направлению приложенной силы, используют коэффициент Пуассона \(\mu\), связывающий величины продольной \(\varepsilon_\|\) и поперечной \(\varepsilon_\perp\) деформаций:

\[\varepsilon_\perp=\frac{\Delta b}{b}=\frac{\Delta h}{h}=-\mu \varepsilon_\| \qquad(2)\]

1.2. Для материала с коэффициентом Пуассона \(\mu\) и модулем Юнга \(E\) свяжите относительное изменение объема \(\varepsilon_V=\Delta V/V\) с величиной продольной деформации \(\varepsilon_\|\). Силы, приложенные к бруску, направлены вдоль оси, параллельной стороне длиной \(l\).

Часть 2. Изменение длины

2.1. Определите площадь внутреннего сечения трубки \(a\) и площадь сечения ее стенок \(A\) (см. рисунок 2).

Рис. 2. Внутреннее сечение и сечение стенок трубки

2.2. Расположите трубку горизонтально. Закрепите один из ее концов при помощи струбцины. В другой конец вставьте поршень с крючком. Прикрепите к крючку динамометр и измерьте зависимость его показаний от длины трубки \(l\). Постройте график зависимости относительного удлинения трубки \(\varepsilon_l\) от растягивающей ее силы \(F\). Укажите, на каком участке полученного графика зависимость описывается линейной функцией, и найдите модуль Юнга трубки по этому участку.

2.3. При изменении длины трубки \(l\) изменяется также ее внутренний объем \(V\). Предложите способ, позволяющий зарегистрировать это изменение при неизменном давлении внутри трубки. Проведите измерения для разных удлинений трубки и постройте график зависимости \(\varepsilon_V\) от \(\varepsilon_l\). Определите коэффициент Пуассона материала трубки.

Примечание

Плотность воды считайте равной точно \(1~г/см^3\).

Оборудование
1. Трубка силиконовая
2. Шприц на \(1~мл\)
3. Весы
4. Один поршень от шприца с крючком для присоединения динамометра
5. Шприц \(20~мл\)
6. Динамометр \(5~Н\)
7. Струбцина
8. Мерная лента
9. Мерный цилиндр \(100~мл\)
10. Пластиковая чашка с водой
11. Скотч (по требованию)
▶Показать разборСкрыть разбор
Ответ
1.1: \(k=E bh/l\); 1.2: \[\frac{\Delta V}{V} \approx \Delta \ln (V)=\Delta \ln (b)+\Delta \ln (h)+\Delta \ln (l) \approx \frac{\Delta b}{b}+\frac{\Delta h}{h}+\frac{\Delta l}{l}=\frac{\Delta l}{l}(1-2 \mu) \qquad(3)\]; 2.1: \[a=\frac{m_1}{\rho l_1}=(11.71 \pm 0.04)~мм^2. \qquad(4)\] \[A=\frac{m_2}{\rho l_2}=(27.1 \pm 4.0)~мм^2 \qquad(5)\]; 2.2: \[E=\left(A k_1\right)^{-1}=(3.7 \pm 0.2) \cdot 10^6~Па. \qquad(6)\]
Решение
1.1. Используя приведенные определения, получим

Ответ:

\(k=E bh/l\)

1.2. Выражение для малого относительного изменения объема можно преобразовать следующим образом:

Ответ:

\[\frac{\Delta V}{V} \approx \Delta \ln (V)=\Delta \ln (b)+\Delta \ln (h)+\Delta \ln (l) \approx \frac{\Delta b}{b}+\frac{\Delta h}{h}+\frac{\Delta l}{l}=\frac{\Delta l}{l}(1-2 \mu) \qquad(3)\]

2.1. Для определения внутреннего сечения трубки наберем воду в часть трубки длиной \(l_1=(100.8 \pm 0.1)~см\). При помощи весов определим массу набранной в трубку воды \(m_1=(11.80 \pm 0.03)~г\). Зная плотность воды \(\rho=1.0~г/см^3\), получаем для внутреннего сечения трубки:

Ответ:

\[a=\frac{m_1}{\rho l_1}=(11.71 \pm 0.04)~мм^2. \qquad(4)\]

Для определения площади сечения стенок трубки опустим ее часть длиной \(l_2=(15.0 \pm 0.1)~см\) в мерный цилиндр, поставленный на весы, придерживая трубку так, чтобы она не касалась дна и стенок мерного цилиндра. На воду в цилиндре будет действовать сила (равная, по третьему закону Ньютона, силе Архимеда, действующей на трубку), которая приведет к изменению показаний весов на величину \(m_2=(4.06 \pm 0.03)~г\). Отсюда для сечения стенок трубки получим:

Ответ:

\[A=\frac{m_2}{\rho l_2}=(27.1 \pm 4.0)~мм^2 \qquad(5)\]

2.2. Снимем зависимость длины трубки \(\varepsilon_{l}=\Delta l / l\) от растягивающей ее силы \(F\):

\(l,~см\) \(F,~Н\) \(\varepsilon_{l}, \%\)
99.2 0.0 0.00
100.2 1.01 1.01
101.2 2.0 2.02
102.2 3.0 3.02
103.4 4.0 4.23
104.5 5.0 5.34

Построим график полученной зависимости:

Ответ:

График зависимости \(\varepsilon_l\) от \(F\)

На начальном этапе график соответствует прямой линии. В этих пределах можно считать, что длина трубки и сечение ее стенок неизменно. Дальнейшее отклонение графика от прямой линии свидетельствует об уменьшении сечения стенок трубки, что приводит к уменьшению коэффициента жесткости. Определим угловой коэффициент линии, аппроксимирующей график на начальном этапе \(k_1=(1.00 \pm 0.04)\cdot 10^{-2}~Н^{-1}\). С учетом площади сечения стенок трубки получим для модуля Юнга:

Ответ:

\[E=\left(A k_1\right)^{-1}=(3.7 \pm 0.2) \cdot 10^6~Па. \qquad(6)\]

2.3. Заполним трубку водой практически полностью. Один конец трубки заткнем поршнем от шприца с крючком, а в другой конец вставим корпус второго шприца (левый и правый концы трубки соответственно на рисунке 3). Сообщающийся с атмосферой конец трубки зафиксируем струбциной на столе, а другой будем тянуть рукой.

Рис. 3. Установка для измерения коэффициента Пуассона материала трубки

Объем воды внутри трубки трубки неизменен. Обозначим этот объем \(v\). Тогда объем всей трубки можно рассчитать как:

\[V=v \frac{y}{y-x} \qquad(7)\]а его относительное изменение так:

\[\frac{\Delta V}{V_{0}}=\frac{y}{y_{0}} \frac{y_{0}-x_{0}}{y-x}-1 \qquad(8)\]По аналогии с пунктом \(2\) можно получить:

\[\frac{\Delta V}{V_{0}}=\frac{\Delta y}{y_{0}}-\frac{\Delta a}{a_{0}}=\frac{\Delta y}{y_{0}}(1-2 \mu) \qquad(9)\]Снимем зависимость координаты жидкости в трубке \(x\) от длины трубки \(y\). Рассчитаем относительное удлинение трубки и относительное изменение объема ее внутренней части для каждой ее длины.

\(x,~см\) \(y,~см\) \(\varepsilon_y, \%\) \(\varepsilon_V, \%\)
98.7 0.9 0.00 0.00
103.7 1.5 5.07 0.54
108.7 2.3 10.13 1.23
113.7 3.0 15.20 1.77
118.7 4.0 20.26 2.54
128.7 5.7 30.40 3.68

Построим график зависимости \(\varepsilon_V\left(\varepsilon_y\right)\) :

График зависимости \(\varepsilon_V\) от \(\varepsilon_y\)

Угловой коэффициент прямой, описывающей зависимость, составляет

\(k_2=0.123 \pm0.004\).

Откуда коэффициент Пуассона:

Ответ:

\[\mu=\frac{1-k_2}{2}=0.438 \pm 0.002 \qquad(10)\]

Источник: pho.rs/p/4234.
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

\(l,~см\)	\(F,~Н\)	\(\varepsilon_{l}, \%\)
99.2	0.0	0.00
100.2	1.01	1.01
101.2	2.0	2.02
102.2	3.0	3.02
103.4	4.0	4.23
104.5	5.0	5.34

\(x,~см\)	\(y,~см\)	\(\varepsilon_y, \%\)	\(\varepsilon_V, \%\)
98.7	0.9	0.00	0.00
103.7	1.5	5.07	0.54
108.7	2.3	10.13	1.23
113.7	3.0	15.20	1.77
118.7	4.0	20.26	2.54
128.7	5.7	30.40	3.68

Упругость трубки

Упругость трубки

Похожие задачи