Магнитные шарики

IEPhO 2016/17, 11 кл.

7/10

Погрешности в задаче оценивать не требуется!

Теоретическое введение Часть 1. Электрический диполь. Точечный диполь

Простейший электрический диполь представляет собой систему из двух одинаковых по величине и противоположных по знаку точечных электрических зарядов, смещенных друг относительно друга на вектор \(\vec{l}\), проведенный от отрицательного к положительному заряду. Электрический диполь (момент) \(\vec{p}\) – это векторная величина, \(\vec{p}=q \vec{l}\). Диполь называют точечным (или элементарным), если его размеры малы по сравнению расстоянием до диполя: \(l\ll r\).

Часть 2. Диполь-дипольное взаимодействие. Взаимодействие диполя с точечным зарядом

Сила взаимодействия точечных электрических или магнитных диполей в отличие от взаимодействия точечных масс или точечных зарядов в общем случае не подчиняется третьему закону Ньютона: направление действия этих сил может не совпадать с линией, соединяющей точечные диполи, как того требует третий закон Ньютона, хотя по величине эти силы равны между собой и направлены противоположно (это очевидное следствие из закона сохранения импульса замкнутой системы).

Рис. 1

Рассмотрим, к примеру, силы взаимодействия между диполем и точечными зарядами в случае, если заряды лежат на оси диполя или в плоскости, перпендикулярной диполю (см. рис. 1).

Несложно показать, что в приближении точечного диполя, т.е. в пределе \(l\ll r\), сила, действующая на заряд \(q_{1}\): \[\vec{F}_{1}=-\frac{k \vec{p} q_{1}}{r^{3}}\] а сила, действующая на заряд \(q_{2}\): \[\vec{F}_{2}=\frac{2 k \vec{p} q_{2}}{r^{3}}\] Силу \(\vec{F}_{1}\) можно найти и из следующих соображений: на диполь со стороны поля заряда действует момент сил \(\left|\vec {M}_{q}\right|=p E_{q}={k p q}/{r^{2}}\). Поскольку полный момент внутренних сил, как следует из закона сохранения момента импульса, равняется нулю, то \(\vec{M}_{q}\) должен компенсироваться моментом силы взаимодействия заряда с диполем: \(\left|\vec{M}_{1}\right|=F_{1} r\). В итоге приходим к тому же результату: \[\vec{F}_{1}=-\frac{k \vec{p} q_{1}}{r^{3}}\]

Часть 3. Электрические и магнитные диполи

В силу отсутствия в природе магнитных зарядов (монополей), магнитный диполь нельзя определить аналогично электрическому. Но эксперимент и теория показывают, что картина силовых линий напряженности \(\vec{E}\) поля электрического точечного диполя \(\vec{p}\) не отличается от картины силовых линий магнитной индукции \(\vec{B}\) магнитного точечного диполя \(\vec{p}_{m}\) (маленького постоянного магнитика или виточка с током). Соответственно, с точностью до обозначений и констант, не отличаются и законы взаимодействия магнитных и электрических диполей. Это означает, что, получив законы взаимодействия электрических точечных диполей и заменив в формулах \(\vec{p}\) на \(\vec{p}_{m}\), а константу электрического взаимодействия \(k_{\varepsilon}=\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}=9 \cdot 10^{9} ~{м}/{Ф}\) на константу магнитного взаимодействия \(k_{\mu}=\dfrac{\mu_{0}}{4 \pi}=10^{-7} ~{Гн}/{м}\), мы сможем рассчитать поля и законы взаимодействия магнитных диполей. При этом необходимо иметь ввиду, что вектор магнитного момента \(\vec{p}_{m}\) постоянного магнита направлен от южного к северному полюсу (для витка с током это направление соответствует правилу буравчика).

Часть 4. Магнитный шар

Шарообразные магниты в нашей работе изготовлены из магнитожесткого материала (неодима). Это означает, что под действием внешних магнитных полей намагниченность шара не изменяется, и он ведет себя как жесткий диполь.

Поле однородно намагниченного шара радиусом \(R\) на расстояниях \(r \geq R\) совпадает с полем точечного магнитного диполя \(\vec{p}_{m}\), равного полному магнитному моменту шара и расположенного в его центре. Взаимодействуют магнитные шары, как жесткие точечные диполи, расположенные в центрах шаров.

Часть 5. Стальной шар в магнитном поле

Стальной шар изготовлен из магнитомягкого материала с очень узкой петлей гистерезиса. Это означает, что, в отсутствие магнитных полей, шар

практически не намагничен и, соответственно, не несет никакого магнитного момента. В магнитном поле он намагничивается, приобретая магнитный момент пропорциональный индукции магнитного поля \(\vec{B}\):

\[\vec{p}_{m}=\alpha \vec{B}\]В результате возникает взаимодействие между наведенным магнитным моментом шара \(\vec{p}_{ш}\) и магнитным моментом \(\vec{p}_{m}\) постоянного магнита.

Часть 6. Формулы, которые могут потребоваться в предлагаемой работе

Индукция магнитного поля точечного магнитного диполя на расстоянии:

\[\vec{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\left(\frac{3\left(\vec{p}_{m}, \vec{r}\right) \vec{r}}{r^{5}}-\frac{\vec{p}_{m}}{r^{3}}\right)\]На магнитный диполь \(\vec{p}_{m}\) в поле \(\vec{B}\) действует механический момент сил:

\[\vec{M}=\left[\vec{p}_{m}, \vec{B}\right]\]Энергия диполя \(\vec{p}_{m}\) в поле \(\vec{B}\):

\[W=-\left(\vec{p}_{m}, \vec{B}\right)\]Полезно также иметь ввиду, что при вычислении полей, а также сил, действующих на диполь \(\vec{p}_{m}\), его всегда можно представить в виде двух (или нескольких) диполей, векторная сумма которых равна моменту рассматриваемого диполя \(\vec{p}_{m}\) – это следует из свойства аддитивности магнитного момента и принципа суперпозиции магнитных полей (см. рис. 2).

Рис. 2

Часть 7. Основная задача нашего эксперимента

Сила взаимодействия двух шарообразных магнитов изменяется при повороте одного шара относительно другого. В этом не сложно убедиться экспериментально: не изменяя расстояние между двумя притягивающимися магнитами, поверните один из шаров на \(180^{\circ}\), и Вы обнаружите, что притяжение сменится отталкиванием. Если же один из шаров повернуть на \(90^{\circ}\), то Вы явно почувствуете силу, направленную перпендикулярно к линии, соединяющей центры шаров.

В данной работе предлагается исследовать зависимость полной силы взаимодействия двух постоянных шарообразных магнитов от взаимной ориентации их магнитных моментов, а также исследовать силу притяжения (отталкивания) магнитного и стального шаров.

Часть 8. Экспериментальная

Снимите зависимости продольной (притяжение или отталкивание) \(F_{r}(\theta)\) и поперечной \(F_{\tau}(\theta)\) (перпендикулярной к \(\vec{r}\)) составляющих силы взаимодействия двух магнитных шаров от угла \(\theta\) между их магнитными моментами (см. рис. 3). Расстояние между центрами шаров возьмите равным \(r=10 ~{см}\); магнитный момент \(\vec{p}_{m}\) одного из шаров (неподвижного) направлен вдоль прямой, соединяющей центры шаров.

Опишите и зарисуйте схему установки и методику измерений \(F_{r}(\theta)\) и \(F_{\tau}(\theta)\), а также Ваш метод юстировки (настройки) установки.

Постройте графики вышеуказанных зависимостей на одной координатной плоскости.

Рис. 3.

Примечание. Будьте внимательны, если показания весов не меняются в течении минуты, весы отключаются, поэтому проводите измерения без особых задержек!

Рекомендация по использованию зубочистки. Для надежного закрепления шара и в качестве стрелки-указателя угла поворота удобно использовать зубочистку. Для этого вставьте ее между шаром и креплением.

Часть 9. Теоретическая

B1. Получите теоретические зависимости \(F_{r}(\theta)\), \(F_{\tau}(\theta)\) и \(F(\theta)\) – полной силы взаимодействия магнитных шаров. Постройте график зависимости \(F(\theta)\) на той же координатой плоскости, что и в части 1.

Определите теоретическое значение отношения \({F_{\max }}/{F_{\min }}\) (во сколько раз максимальное значение полной силы больше, чем минимальное).

Сравните полученное значение с экспериментальными данными.

Часть 10. Оценочная

C1. Исследуйте зависимость продольной составляющей силы \(F_{r}(\theta)\) (притяжение или отталкивание) взаимодействия постоянного шарообразного магнита со стальным шаром от угла \(\theta\) между магнитным моментом \(\vec{p}_{m}\) постоянного магнита и линией, соединяющей центры шаров при расстоянии между центрами шаров \(r=4~см\). Экспериментально определите \({F_{r_{\max}}}/{F_{r_{\min}}}\).

Рассчитайте \({F_{r_{\max}}}/{F_{r_{\min}}}\) теоретически и сравните полученное значение с экспериментальным.

Из теории известно, что \(F_{r}(\theta)\) имеет вид \(F_{r}(\theta)=A(1+\beta \cos n \theta)\). Определите экспериментально значения \(\beta\) и \(n\).

Оборудование

Два неодимовых магнитных шара диаметром \(d=20~мм\)
Штатив
Устройства для крепления и поворота шаров
Шкала для отсчета угла поворота магнита
Электронные весы
Деревянная линейка
Перманентный маркер
Стальной шар диаметром \(20~мм\)
Струбцина
Зубочистки

▶Показать разборСкрыть разбор

Ответ

B1: \[\frac{F_{\max }}{F_{\min }}=2\]; C1: \[\frac{F_{r_{\max }}}{F_{r_{\min }}}=4.05\] \[\frac{F_{r_{\max }}}{F_{r_{\min }}}=4\]

Решение

A1. Полюса определяем по точкам сцепления двух шарообразных магнитов. Учитывая, что магниты сцепляются противоположными полюсами, помечаем их цифрами «1» и «2».

Зависимость продольной силы \(F_{r}(\theta)\) снимаем, расположив шары на одной вертикали на расстоянии (между центрами шаров) \(r=10~см\). Схема установки показана на рис. 1.

Рис. 1. Фотография экспериментальной установки

Нижний магнит, закреплённый на подставке, находится на весах. Для исключения силы тяжести подставки с закреплённым магнитом, показания весов при удалённом расположении магнитов зануляем с помощью клавиши «TARE». Тогда при сближении магнитов весы показывают только силу магнитного взаимодействия, причём знаку «+» соответствует отталкивание (вес «увеличивается»), а знаку «-» – притяжение магнитов (вес «уменьшается»).

Магнитный момент нижнего, неподвижного шара ориентируем по вертикали. Магнитный момент верхнего шара в начальном положении ориентируем по вертикали и закрепляем так, чтобы нулю отсчёта по градусной шкале соответствовала максимальная сила. Поворачивая магнитный момент верхнего шара (нижний шар - неподвижен) снимаем зависимость показаний весов \(F_{r}(\theta)\).

Результаты измерений приведены в таблице ниже.

Ответ:

\(\theta,~^{\circ}\)	\(m,~г\)	\(F_{r},~мН\)	\(\theta,~^{\circ}\)	\(m,~г\)	\(F_{r},~мН\)	\(\theta,~^{\circ}\)	\(m,~г\)	\(F_{r},~мН\)
0	-11.87	-116	120	6.91	68	240	5.95	58
10	-11.44	-112	130	8.53	84	250	4	39
20	-10.62	-104	140	9.72	95	260	1.71	17
30	-9.59	-94	150	10.63	104	270	-0.38	-4
40	-8.07	-79	160	11.38	112	280	-2.64	-26
50	-6.36	-62	170	11.82	116	290	-4.59	-45
60	-4.55	-45	180	1.88	117	300	-6.35	-62
70	-2.68	-26	190	11.6	114	310	-8.23	-81
80	-0.59	-6	200	11.09	109	320	-9.53	-93
90	1.38	14	210	10.15	100	330	-10.76	-106
100	3.44	34	220	9.06	89	340	-11.5	-113
110	5.27	52	230	7.72	76	350	-11.87	-116

Зависимость поперечной силы \(F_{\tau}(\theta)\) снимаем аналогично зависимости \(F_{r}(\theta)\), но шары располагаем на одной горизонтали. Расстояние между центрами шаров также \(r=10~см\). Фотография установки представлена на рис. 2.

Рис. 2. Фотография экспериментальной установки

Один из магнитов закреплён в штативе, другой, вместе с подставкой находится на весах. Вначале магнитные моменты обоих магнитов направлены горизонтально вдоль линии, соединяющих центры шаров. Для исключения силы тяжести подставки с магнитом, показания весов при удалённом расположении магнитов зануляем с помощью клавиши «TARE». Тогда, при сближении магнитов, весы показывают только поперечную (вертикальную) \(F_{\tau}\) силу магнитного взаимодействия, причём знаку «+» соответствует сила, направленная вниз, а знаку «-» – вверх. Для измерения зависимости \(F_{\tau}(\theta)\) магнитный момент закреплённого в штативе магнита поворачиваем в вертикальной плоскости.

Результаты измерений приведены ниже.

Ответ:

\(\theta,~^{\circ}\)	\(m,~г\)	\(F_{\tau},~мН\)	\(\theta,~^{\circ}\)	\(m,~г\)	\(F_{\tau},~мН\)	\(\theta,~^{\circ}\)	\(m,~г\)	\(F_{\tau},~мН\)
0	0	0	120	5.07	50	240	−4.58	-45
10	1.1	11	130	4.58	45	250	-4.93	-48
20	2.13	21	140	3.91	38	260	-5.33	-52
30	3.04	30	150	3.25	32	270	-5.52	-54
40	3.94	39	160	2.38	23	280	-5.56	-55
50	4.67	46	170	1.53	15	290	-5.37	-53
60	5.06	50	180	0.54	5	300	-4.91	-48
70	5.43	53	190	-0.3	-3	310	-4.33	-42
80	5.76	57	200	-1.38	-14	320	-3.69	-36
90	5.83	57	210	-2.23	-22	330	-2.83	-28
100	5.7	56	220	-3.15	-31	340	-1.8	-18
110	5.45	53	230	-3.86	-38	350	-0.74	-7

Графики полученных зависимостей будут приведены в следующей части.

B1. Представим диполь, повернутый на угол \(\theta\) в виде векторной суммы вектора параллельного оси и вектора перпендикулярного оси. Используя аналогию с электрическими диполями и формулы для сил, действующих со стороны поля диполя на заряд, получим, что:

\[\begin{aligned} & F_{r}(\theta)=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{6 p_{m}^{2} \cos \theta}{r^{4}} \\ & F_{\tau}(\theta)=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{3 p_{m}^{2} \sin \theta}{r^{4}} \end{aligned}\]Тогда модуль полной силы равен:

\[F(\theta)=\sqrt{F_{r}^{2}+F_{\tau}^{2}}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{3 p_{m}^{2}}{r^{4}} \sqrt{1+3 \cos ^{2} \theta}\]откуда получается, что отношение:

Ответ:

\[\frac{F_{\max }}{F_{\min }}=2\]

Результаты расчета зависимости полной силы \(F\) от угла \(\theta\) представлены в таблице ниже.

\(\theta,~^{\circ}\)	\(F_{r},~мН\)	\(F_{\tau},~мН\)	\(F,~мН\)	\(\theta,~^{\circ}\)	\(F_{r},~мН\)	\(F_{\tau},~мН\)	\(F,~мН\)	\(\theta,~^{\circ}\)	\(F_{r},~мН\)	\(F_{\tau},~мН\)	\(F,~мН\)
0	−116	0	116	120	68	50	84	240	58	-45	73
10	-112	11	113	130	84	45	95	250	39	-48	62
20	-104	21	106	140	95	38	103	260	17	-52	55
30	-94	30	99	150	104	32	109	270	-4	-54	54
40	-79	39	88	160	112	23	114	280	-26	-54	60
50	-62	46	77	170	116	15	117	290	−45	-53	70
60	-45	50	67	180	117	5	117	300	−62	-48	78
70	−26	53	59	190	114	-3	114	310	−81	-42	91
80	-6	56	56	200	109	-14	110	320	−93	-36	100
90	14	57	59	210	100	-22	102	330	−105	-28	109
100	34	56	66	220	89	-31	94	340	−113	-18	114
110	52	53	74	230	76	-38	85	350	−116	-7	116

Графики исследуемых зависимостей представлены ниже.

Ответ:

Графики зависимости компонент полной силы и самой полной силы от угла \(\theta\)

Из полученных данных рассчитаем \({F_{\max }}/{F_{\min }}=2.06\), что очень близко к теоретическому значению, посчитанному выше.

C1. Соберем установку для измерения \(F_{r}(\theta)\) из части 1, но вместо закрепленного нижнего магнитного шара поместим стальной шар. Для исключения силы тяжести подставки с закреплённым стальным, показания весов при удалённом расположении магнитов зануляем с помощью клавиши «TARE». Медленно прокручивая магнитный шар, заметим, что показания весов всегда отрицательны \(\left(F_{r}(\theta)\right.\) – сила притяжения). Минимальное по модулю значение показаний весов \(m_{\min }=-5.53~г\), максимальное \(-m_{\max }=-22.41~г\). Значит,

Ответ:

\[\frac{F_{r_{\max }}}{F_{r_{\min }}}=4.05\]

Также при измерениях заметим, что показания весов совершают два полных «колебания» при повороте магнита на \(360^{\circ}\), в отличие от всех ранее измеренных в части 1 зависимостей, совершающих одно полное «колебание» (см. рис. 3). Это пригодится нам в дальнейшем.

Рис. 3

Для вывода теоретической формулы найдем выражение для силы взаимодействия между двумя параллельными диполями, показанными на рисунке (рассмотрим аналогию с электрическими диполями). Сила, действующая на верхний диполь осесимметрична, направлена вниз и численно равна\[F=\frac{3 k p_{1} p_{2}}{r^{4}}.\]

Рис. 4

Рассмотрим магнитный и стальной шары, как жесткий и наведенный магнитные диполи \(\left(B=\dfrac{\mu_{0}}{4 \pi} \dfrac{p_{m}}{r^{3}}\right)\). Очевидно, что вклад в продольную составляющую силы вносят взаимодействие двух горизонтальных компонент и взаимодействия двух вертикальных компонент магнитных моментов. Сила взаимодействия между вертикальными компонентами уже была рассчитана в части 2, сила взаимодействия между горизонтальными компонентами была найдена выше в аналогии с электрическими диполями. Таким образом, продольная сила взаимодействия магнитного и стального шаров \(F_{r}(\theta)=A(1+0.6 \cdot \cos 2 \theta)\), где \(A\) – константа. Значит, теоретически\[\frac{F_{r_{\max }}}{F_{r_{\min }}}=\frac{1+0.6}{1-0.6}=4,\]что хорошо согласуется с экспериментом.

Ответ:

\[\frac{F_{r_{\max }}}{F_{r_{\min }}}=4\]

Экспериментальное значение \(\beta\) определяется из соотношения\[\frac{F_{r_{\max }}}{F_{r_{\min }}}=\frac{1+\beta}{1-\beta}=4.05,\]откуда \(\beta=0.60\). Экспериментальное значение \(n=2\), что было объяснено выше.

Ответ:

\[\beta=0.6,\quad n=2\]

Источник: pho.rs/p/4141.

Вся олимпиада на сайте

в вариантСтраница задачиОшибка в задаче?

Магнитные шарики

Магнитные шарики

Похожие задачи