Задачи › Связанные колебания, биения

Биения

  1. Биения

    IEPhO 2016/17, 11 кл.
    7/10

    Крутильный маятник состоит из толстого металлического стержня, на верхний конец которого прикреплена пластиковая трубка, в трубку вставлена деревянная палочка, по которой можно перемещать две гайки. В трубке проделаны два отверстия для крепления маятника к пружине.

    Данный маятник может совершать различные типы колебаний. В данной задаче вам необходимо исследовать два из них: продольные колебания (вверх-вниз) и крутильные (вращение вокруг вертикальной оси). Эти моды колебаний взаимодействуют между собой, т.е. энергия крутильных колебаний может переходить в энергию продольных колебаний и обратно.

    Легко наблюдать, что амплитуда крутильных колебаний периодически изменяется. Это эффект называется биения.

    Рисунок

    A1. Измерьте с максимальной точностью период продольных колебаний. Оцените погрешность измерений.

    В дальнейших пунктах задачи оценивать погрешности не требуется!

    A2. Измерьте зависимость периода крутильных колебаний от расстояния между гайками. Постройте график полученной зависимости в таких координатах, чтобы он был линейным.

    A3. Измерьте зависимость периода биений от расстояния между гайками.

    A4. Предложите формулу для периода биений и его связи с периодами продольных и крутильных колебаний.

    A5. Постройте график зависимости периода биений от периода крутильных колебаний в таких координатах, чтобы он был квазилинейным.

    Оборудование

    1. Пружина со струбциной для крепления к столу

    2. Секундомер

    3. Крутильный маятник

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    A1: \[T=(0.88 \pm 0.04)~с\]

    Решение

    A1. Для измерения периода продольных колебаний выведем маятник из равновесия, отклонив его на небольшое расстояние вдоль вертикали. В процессе измерений будем следить за тем, чтобы маятник имел только продольную моду.

    Измерим время \(T\), за которое маятник совершил \(N\) колебаний. Повторим измерения 5 раз. Тогда период одного колебания может быть рассчитан по формуле: \[T_{1}=\frac{\langle T\rangle}{N} \qquad(1)\]Погрешность измерения периода может быть оценена как сумма погрешности, возникающей из-за конечного времени реакции, и случайной погрешности. \[\Delta T_{1}=\Delta T_{реак} / N+\Delta T_{случ} \qquad(2)\]Результаты измерений периода продольных колебаний:

    \(T_1,~с\)8.929.048.719.138.9

    Откуда:

    Ответ:

    \[T=(0.88 \pm 0.04)~с\]

    A2. Снимем зависимость периода крутильных колебаний \(T\) от расстояния между гайками \(L\). Результаты измерений представлены в таблице ниже.

    \(L,~см\)\(N\)\(t,~с\)\(T,~с\)\(L^2,~см^2\)\(T^2,~с^2\)
    2.002015.000.754.000.5625
    2.502015.650.786.250.6084
    3.002016.280.819.000.6561
    3.502017.030.8512.250.7225
    4.002018.160.9116.000.8281
    4.502018.970.9520.250.9025
    5.002020.181.0125.001.0201
    5.502020.971.0530.251.1025

    Из уравнений динамики вращательного движения следует, что \(T^{2} \sim I\), где \(I\) – момент инерции системы. Он складывается из моментов инерции тел относительно осей, проходящих через их центры масс, и добавки \(2 m_г\left(\frac{L}{2}\right)^{2}\), следующей из теоремы Гюйгенса–Штейнера. Таким образом график \(T^{2}\left(L^{2}\right)\) должен быть линейным.

    Построим экспериментальный график зависимости \(T^{2}\left(L^{2}\right)\).

    Ответ:

    Рисунок

    График зависимости квадрата периода крутильных колебаний от квадрата расстояния между гайками

    A3. Снимем зависимость периода биений от расстояния между гайками. Для этого будем запускать продольную моду колебаний маятника. В начальный момент времени деревянная палочка неподвижна. Периодом биения будем считать время, за которое система вернется в исходное состояние. Результаты измерений представлены в таблице.

    Ответ:

    \(x,~см\)\(T_{биен},~с\)\(T_{крут}\)\(T_{биен}^{-1},~с^{-1}\)\(T_{крут}^{-1},~с^{-1}\)
    14.460.700.221.42
    25.730.750.171.34
    38.70.820.111.23
    416.710.900.061.11
    5\(\infty\)1.000.001.00
    616.691.110.060.90
    79.021.230.110.81
    86.391.350.160.74

    A4. Биения возникают при сложении двух колебаний с близкими частотами. Зависимость отклонения маятника от положения равновесия в общем случае описывается формулой: \(A=A_{0}(t) \cos \left(w_{0} t\right)\), где \(A_{0}(t)\) – амплитуда колебаний маятника, модулированная медленным косинусом.

    Периодом биений называется промежуток времени между двумя последовательными узлами, т.е. точками, в которых \(A_{0}(t)=0\).

    Известно, что частота биений выражается через частоты мод входящих колебаний по формуле:

    \[\nu_{биен}=\left|\nu_{прод}-\nu_{крут}\right|.\]Отсюда следует, что график зависимости \(\dfrac{1}{T_{биен}}\left(\dfrac{1}{T_{крут}}\right)\) должен быть квазилинейным.

    A5. Рассчитаем для каждого \(L\) соответствующий период крутильных колебаний, пользуясь зависимостью, измеренной в пункте A2, и построим экспериментальный график \(\dfrac{1}{T_{биен}}\left(\dfrac{1}{T_{крут}}\right)\). Для удобства умножим значения частот биений и крутильных колебаний на \(10^{2}\).

    Ответ:

    Рисунок

    Графики зависимости частоты биений от частоты крутильной моды

    Заметим, что в измерениях присутствует точка, в которой биения вообще не наблюдаются. Эта точка соответствует равенству периодов колебаний крутильной и продольной моды.

    Источник: pho.rs/p/4140.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх