Бусинки на двух кольцах

Найдите величину, которая сохраняется для системы бусинок (момент импульса относительно общего центра), и запишите закон сохранения энергии для расстояния между бусинками.

Пусть углы \(\alpha\) и \(\beta\) показаны на рисунке в решении. По теореме синусов для треугольника с вершинами в центре колец и в бусинках \(\sin\beta=2\sin\alpha\). Силы притяжения бусинок равны по величине \(F\); их касательные проекции связаны так, что за малый промежуток времени \(\Delta t\) изменения импульсов бусинок удовлетворяют \(2\Delta p_1+\Delta p_2=0\). Значит, величина \(2p_1+p_2\) не меняется и равна своему начальному значению: \[2v_1+v_2=2v_0 .\] Это также следует из закона сохранения момента импульса. Расстояние между бусинками \(l(\theta)=R\sqrt{5-4\cos\theta}\), где \(\theta\) — угол между радиусами. Закон сохранения энергии с учётом \(v_2=2(v_0-v_1)\) даёт квадратное уравнение \[5v_1^2-8v_0v_1+\bigl(3v_0^2+U(\theta)\bigr)=0,\qquad U(\theta)=\frac{2Gm}{R}\left(1-\frac{1}{\sqrt{5-4\cos\theta}}\right),\] с корнями \(v_1^\pm(\theta)=\dfrac{4v_0\pm\sqrt{v_0^2-5U(\theta)}}{5}\). Функция \(U(\theta)\) периодична, равна нулю при \(\theta=0\) и имеет максимум \(U_m=U(\pi)=\dfrac{4Gm}{3R}\) при \(\theta=\pi\).

Если \(v_0^2\ge 5U_m\), то корни существуют при любом \(\theta\) и не пересекаются. Тогда минимальная скорость первой бусинки реализуется при \(\theta=\pi\): \(v_{1,\min}=\dfrac{4v_0+\sqrt{v_0^2-5U_m}}{5}\), а максимальная равна \(v_0\). Условие \(v_0^2\ge 5U_m\) означает \(m\le\dfrac{3Rv_0^2}{20G}\).

Если \(v_0^2<5U_m\), дискриминант обращается в ноль при некотором критическом угле \(\theta_m<\pi\). Бусинки движутся, пока угол не достигнет \(\theta_m\); далее угол уменьшается, и скорость первой бусинки меняется по закону \(v_1^-(\theta)\), так как гравитация тормозит бусинку на этом участке. При \(\theta=0\) скорость первой бусинки равна \(v_1^-(0)=0{,}6\,v_0\). Дальше бусинки обгоняют друг друга, и цикл повторяется. Поэтому в этом случае \(v_1\in[0{,}6\,v_0,\;v_0]\).