Сопротивление шестиугольной решётки

Используйте симметрию: узлы, лежащие на одной вертикали, имеют одинаковый потенциал, и их можно объединить. Для второго случая разложите напряжение по двум направлениям и воспользуйтесь принципом суперпозиции.

Заметим, что в силу симметрии вдоль вертикальной координаты узлы решётки, имеющие одинаковую горизонтальную координату, находятся под одинаковым напряжением (имеют одинаковый электрический потенциал). Объединив такие узлы, получаем эквивалентную схему. Каждое сопротивление в ней составлено из \(n\) параллельных сопротивлений \(R\) и равно \(R/n\), где \(n=L/(1{,}5a)\); последовательно соединено \(m=\dfrac{L}{\sqrt3 a/2}\) таких сопротивлений. Поэтому \[R_0=m\cdot\frac{R}{n}=\sqrt3\,R .\]

Во вспомогательной задаче (напряжение между сторонами \(AD\) и \(BC\)) эквивалентная схема чередует сопротивления \(R/m\) и \(2R/m\), и полное сопротивление снова равно \[R_0=n\cdot\frac{R}{m}+n\cdot\frac{R}{m/2}=\frac{3nR}{m}=\sqrt3\,R .\] Во втором эксперименте решётка повёрнута на \(45^\circ\). Если смотреть на решётку издали, она похожа на сплошную однородную пластину. При подаче напряжения \(U_0\) между контактами \(AB\) и \(CD\) напряжение меняется линейно вдоль \(x\), а при подаче его между \(AD\) и \(BC\) — линейно вдоль \(y\); токи в обоих случаях одинаковы по величине и равны \(I_0=U_0/R_0\), и направлены по осям \(x\) и \(y\) соответственно. Наложив оба случая (принцип суперпозиции), получаем напряжение \(\sqrt2U_0\) на прямых \(A'B'\) и \(C'D'\), а суммарный ток \(\sqrt2 I_0\) течёт под углом \(45^\circ\). Это то же самое, что и для контактов \(A'B'\) и \(C'D'\) при напряжении \(\sqrt2U_0\) и токе \(\sqrt2I_0\), значит, сопротивление снова равно \(\sqrt3\,R\).