Призмы в жидкости с переменной плотностью

Условие плавания: сила тяжести уравновешена силой Архимеда, а разность давлений на глубинах \(h_0\) и \(h_0+a\) равна \(g\), умноженному на площадь под графиком плотности на этом отрезке глубин.

На призмы действуют сила тяжести и сила Архимеда, и в обоих случаях они уравновешены. Обозначим давление жидкости на глубине \(h_0\) через \(p_0\), а на глубине \(h_0+a\) через \(p_1\). Сила \(F\) — суммарное давление жидкости на наклонную грань; в обоих случаях она одинакова (закон Паскаля), поскольку форма призм одна и та же, и они погружены на одну глубину. Для вертикальных проекций сил получаем \[p_1\cdot 3a^2-2F_y-p_0\cdot a^2-mg=0,\qquad p_1\cdot a^2+2F_y-p_0\cdot 3a^2-m'g=0,\] откуда сложением \[4a^2\,\frac{p_1-p_0}{g}-m=m'.\] Перепад давления \(p_1-p_0\) равен \(g\), умноженному на площадь \(S\) под графиком плотности жидкости на интервале глубин \([h_0,\,h_0+a]\). Поэтому \[m'=4a^2 S-m.\]

Площадь \(S\) находится по графику плотности (рис. 3 в решении). Массу первой призмы из условия можно проверить по закону Архимеда: она равна массе вытесненной жидкости, которая есть \(\int\rho(h)S(h)\,dh\), где \(S(h)=a^2+2a(h-h_0)\) — площадь сечения призмы на глубине \(h\). Аккуратный расчёт даёт \(m\approx 21{,}4\) Мт, а не \(25\) Мт: призма с массой \(25\) Мт на глубине \(h_0\) тонула бы. Тогда с верным значением \(m\approx 21{,}4\) Мт получаем \(m'\approx 18{,}9\) Мт. С массой \(25\) Мт из условия получаем \(m'\approx 16\) Мт. Жюри приносит извинения за опечатку в условии.