Кирилл на качелях

При вставании и приседании Кирилл движется вдоль стержня, поэтому момент импульса относительно оси сохраняется; на подъёме и спуске при одном радиусе сохраняется энергия. Найдите, во сколько раз растёт угловая скорость внизу за одно вставание, и сравните с минимальной скоростью для перехода через верх жёсткого подвеса.

\(N\ge\dfrac{\ln\bigl[4g/(a\omega_0^2)\bigr]}{3\ln(b/a)}\), т. е. \(N=6\) вставаний.

i) Начав внизу с \(|\omega|=\omega_0\), Кирилл (стоя, радиус \(a\)) раскачивается вверх; \(|\omega|\) плавно падает до \(0\) в точке поворота через четверть периода \(T_a/4=(\pi/2)\sqrt{a/g}\). В точке поворота Кирилл приседает (радиус \(a\to b\), на графике это не отражается, так как \(\omega=0\)). Качаясь обратно в приседе, \(|\omega|\) плавно растёт от \(0\) до \(\eta_1\) (см. п. iii; \(\eta_1=\omega_0\sqrt{a/b}<\omega_0\)) через четверть периода \(T_b/4=(\pi/2)\sqrt{b/g}\), которая длиннее первой, так как \(b>a\). Внизу Кирилл встаёт: \(|\omega|\) скачком растёт от \(\eta_1\) до \(\omega_1=\eta_1(b/a)^2=\omega_0(b/a)^{3/2}>\omega_0\). Вторая половина периода повторяет картину с новыми амплитудами \(\omega_1\), \(\eta_2=\omega_1\sqrt{a/b}>\omega_0\), \(\omega_2=\omega_0(b/a)^3\).

Поэтому на эскизе должно быть:

• плавные арки при качании, изломы внизу (скачки) и гладкость в точках поворота;

• арки «в приседе» длиннее арок «стоя»;

• рост последовательных пиков.

На рисунке: standing (\(r=a\)) — стоя, squatting (\(r=b\)) — в приседе, squat — приседание, stand-up — вставание. Эскиз зависимости \(|\omega|\) (или \(\omega\) со знаком) от \(t\) в течение первого полного периода. Эскиз \(\omega\) со знаком (а не \(|\omega|\)) считается верным, если кривая соответствует подписям осей и сохранены все прочие качественные особенности.

ii) Траектория на плоскости \((\alpha,\omega)\) склеена из дуг маятниковых фазовых кривых при двух радиусах, \(a\) и \(b\). Каждый полупериод качания описывает дугу кривой сохранения энергии для соответствующего радиуса. Вставания при \(\alpha=0\) изображаются вертикальными отрезками, на которых \(|\omega|\) скачком растёт от \(\eta_i\) до \(\omega_i=\eta_i(b/a)^2\). Приседания в точках поворота (\(\omega=0\)) изображаются гладкими переходами (дуга радиуса \(a\) касательно переходит в дугу радиуса \(b\) при \(\omega=0\)).

Движение — раскручивающаяся наружу спираль: каждый полный цикл возвращает Кирилла в \(\alpha=0\) с большим \(|\omega|\). Когда \(\omega\) внизу (стоя, радиус \(a\)) впервые превысит \(\omega_{\min}=2\sqrt{g/a}\), следующая дуга вверх не замыкается: она достигает \(\alpha=\pi\) с \(\omega>0\) и продолжается за верхнюю точку. Это открытая кривая на эскизе.

На рисунке: \(r=a\), \(r=b\), stand-up — вставание, goes over — переход через верхнюю точку. Эскиз фазовой диаграммы (\(\omega\) от \(\varphi\)), первые три полупериода.

Основные особенности: дуги в форме «линзы», как у маятника (не эллипсы); вертикальные отрезки только при \(\alpha=0\) (вставания), гладкое сопряжение в точках поворота (приседания); спираль растёт наружу; конечная открытая кривая переходит через верх с ненулевой \(\omega\). Число витков спирали не обязано совпадать с реальным ответом \(N\) из п. iii.

iii) Рост за одно вставание. Пусть \(\omega_i\) — угловая скорость сразу после \(i\)-го вставания (внизу, стоя, радиус \(a\)), а \(\eta_i\) — угловая скорость непосредственно перед этим вставанием (внизу, в приседе, радиус \(b\)). Сохранение энергии на подъёме (стоя, радиус \(a\)) до точки поворота с углом \(\alpha\): \[\frac12(\omega_ia)^2=ga(1-\cos\alpha)\quad\Longrightarrow\quad \omega_i^2a=2g(1-\cos\alpha).\] В точке поворота \(\omega=0\), поэтому приседание (\(a\to b\)) оставляет \(\alpha\) и \(\omega\) неизменными. Спуск в приседе (радиус \(b\)): \[\frac12(\eta_{i+1}b)^2=gb(1-\cos\alpha)\quad\Longrightarrow\quad \eta_{i+1}^2b=2g(1-\cos\alpha).\] Приравнивая, получаем \(\eta_{i+1}=\omega_i\sqrt{a/b}\). Вставание — чисто радиальное движение, поэтому момент импульса относительно оси сохраняется: \(\eta_{i+1}b^2=\omega_{i+1}a^2\), откуда \[\frac{\omega_{i+1}}{\omega_i}=\sqrt{\frac ab}\cdot\frac{b^2}{a^2}=\Bigl(\frac ba\Bigr)^{3/2}.\] После \(N\) вставаний \(\omega_N=\omega_0(b/a)^{3N/2}\).

Минимальная угловая скорость для прохода верха. Стержни жёсткие, поэтому условие достижения верхней точки состоит просто в том, что кинетической энергии внизу хватает, чтобы поднять Кирилла на \(2a\): \[\frac12(\omega_{\min}a)^2=2ga\quad\Longrightarrow\quad\omega_{\min}=2\sqrt{g/a}.\] Подсчёт. Кирилл впервые переходит через верх, когда \(\omega_N\ge\omega_{\min}\), т. е. \[N\ge\frac23\,\frac{\ln(\omega_{\min}/\omega_0)}{\ln(b/a)}=\frac{\ln[4g/(a\omega_0^2)]}{3\ln(b/a)}.\] Численное значение. При \(a=2{,}5\) м, \(b=3{,}0\) м, \(\omega_0=1{,}0\) рад/с, \(g=10\) м/с\(^2\): \(b/a=1{,}2\), \((b/a)^{3/2}\approx1{,}3145\), \(\omega_{\min}=2\sqrt{10/2{,}5}=4\) рад/с, \[N\ge\frac23\cdot\frac{\ln4}{\ln1{,}2}=\frac23\cdot\frac{1{,}386}{0{,}1823}\approx5{,}07\quad\Longrightarrow\quad N=6.\] Проверка: \(\omega_5=1{,}2^{7{,}5}\approx3{,}93\) рад/с (чуть не хватает); \(\omega_6=1{,}2^{9}\approx5{,}16\) рад/с (превышает \(\omega_{\min}\)). Так что Кирилл переходит через верх на подъёме после своего шестого вставания.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.