Движущаяся линза

Луч, идущий через центр тонкой линзы, не преломляется, поэтому из точки \(P\) он идёт прямо к её изображению. Прямые из \(P\), касательные к кривой \(P'\), отвечают крайним положениям центра линзы и потому касаются искомой окружности.

i) Обозначим через \(\Gamma\) окружность, которую описывает центр линзы. Луч света из \(P\), проходящий через центр линзы \(O\), не отклоняется, поэтому он идёт прямо к изображению точки \(P\) в этот момент. Когда \(O\) движется по \(\Gamma\), неотклонённый луч, проходящий через \(P\) и \(O\), заметает семейство прямых, проходящих через \(P\), а его пересечение с кривой изображения \(P'\) даёт текущее изображение. Крайним угловым положениям этой развёртки соответствуют положения \(O\) в точках касания окружности \(\Gamma\) (если смотреть из \(P\)), то есть прямые, проведённые из \(P\) касательно к \(\Gamma\). В эти крайние моменты соответствующая точка изображения на \(P'\) — это точка, в которой прямая из \(P\) касается кривой \(P'\).

Следовательно: проведём из \(P\) две прямые, касательные к кривой \(P'\), — назовём их \(\ell^P_1\) и \(\ell^P_2\), — с точками \(A\) и \(B\) на кривой \(P'\). Они касаются \(\Gamma\). Повторим то же из \(Q\): проведём две прямые, касательные к \(Q'\), — \(\ell^Q_1\) и \(\ell^Q_2\), — с точками \(C\) и \(D\) на кривой \(Q'\). Они также касаются \(\Gamma\). Четыре касательные определяют окружность \(\Gamma\): например, центр \(\Gamma\) лежит в пересечении биссектрис углов между любыми двумя парами этих касательных (так как каждая биссектриса — геометрическое место точек, равноудалённых от двух прямых). Опустив из этого центра перпендикуляр на любую касательную, получаем радиус; проводим \(\Gamma\).

ii) Зафиксируем любую точку \(O\) на \(\Gamma\). Чтобы провести плоскость линзы в этом положении, достаточно найти ещё одну точку линзы. Для этого постараемся определить изображения точек \(P\) и \(Q\) при выбранном положении центра линзы.

Проведём прямую через \(P\) и \(O\); она, возможно, пересекает кривую \(P'\) в двух точках. Нужно определить, какое из пересечений соответствует положению \(O\) линзы. Используем непрерывность и действительность изображений: когда \(O\) непрерывно движется по \(\Gamma\), изображение непрерывно движется по \(P'\), и соответствие касательных из пункта i) сопоставляет участки \(\Gamma\) участкам \(P'\). (Кроме того, вблизи пересечения \(P'\) с \(\Gamma\) соответствующая точка \(O\) должна быть дальним пересечением прямой \(PO\) с \(\Gamma\): ближнее поместило бы предмет в область фокусного расстояния, и изображение было бы мнимым.) Это снимает неоднозначность и определяет точку \(P^\star\in P'\) — текущее изображение \(P\). Для \(Q\) описанная процедура не работает, так как кривая \(Q'\) не пересекает \(\Gamma\), и потому пересечение с областью фокусного расстояния (мы заранее не знаем фокусного расстояния) не гарантировано. Поэтому удобно выбрать точку \(O\) так, чтобы \(QO\) была касательной к \(Q'\), — тогда допустима лишь одна точка (\(C\) или \(D\)). На рисунке \(O\) выбрана так, что \(QO\) есть \(QD\), и тогда \(P^\star\) — ближнее пересечение \(PO\) с \(P'\).

Итак: предмет \(P\) изображается в \(P^\star\), предмет \(Q\) — в \(D\) линзой с центром в \(O\). Имея два предмета и их действительные изображения в собирающей линзе, линзу можно восстановить. Пусть луч света идёт из \(P\) к \(Q\). Тогда, поскольку \(P^\star\) и \(D\) — изображения \(P\) и \(Q\) (а линза идеальна), луч после преломления в линзе должен пойти по прямой \(P^\star D\). Следовательно, прямые \(PQ\) и \(P^\star D\) пересекаются в плоскости линзы, что даёт ещё одну точку \(E\) плоскости линзы. Таким образом, \(OE\) — плоскость линзы в момент, когда центр линзы находится в \(O\), а значит, она параллельна плоскости линзы во все моменты времени.

Решение 2. Задачу можно решить и с помощью формулы линзы. Возьмём касательные (или любые две прямые, для которых вы умеете определить соответствующие точки). Пусть \(\varphi\) — угол между этими прямыми, а \(\alpha\) и \(\beta\) — углы, под которыми оптическая ось (перпендикуляр к линзе) пересекает их. Из элементарной геометрии \(\varphi=\alpha+\beta\) (точное уравнение зависит от определений). Пусть теперь соответствующие положения линзы \(O_1\) и \(O_2\) разбивают прямые на отрезки \(a\) и \(b\) для одной прямой и \(c\) и \(d\) для другой. Тогда формула линзы даёт \[\frac1f=\frac1{a\cos\alpha}+\frac1{b\cos\alpha}=\frac1{c\cos\beta}+\frac1{d\cos\beta}\] (косинус или синус — зависит от определений). Получаем два уравнения с двумя неизвестными. Следовательно, \(\alpha\) (или \(\beta\)) можно найти, а затем провести транспортиром параллельную линзе прямую.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.