Садовый шланг

Число Рейнольдса — отношение \(\rho v^2\) к \(\mu v/D\). Мощность насоса идёт на подъём воды, на трение в шланге (при турбулентном течении оно пропорционально \(v^2\)) и на кинетическую энергию вытекающей струи; с насадкой получается кубическое уравнение для скорости в шланге.

i) \(R=\dfrac{\rho vD}{\mu}\);  ii) \(R\approx37000\), течение турбулентное;  iii) \(Q'/Q\approx0{,}88\), избыточное давление растёт примерно в \(35\) раз.

i) Решение 1 (прямо из масштабов сопротивления из условия). В условии дано ламинарное сопротивление на единицу площади \(F_L\sim\mu v/D\) (градиент скорости у стенки порядка \(v/D\)). Турбулентное сопротивление на единицу площади \(F_T\sim\rho v^2\) (динамическое давление, переносимое вихрями). Безразмерное отношение \[R=\frac{F_T}{F_L}\sim\frac{\rho v^2}{\mu v/D}=\frac{\rho vD}{\mu}.\] Некоторые решения пытались добавить численные множители, но это невыполнимая задача, так как сила сопротивления в турбулентном случае хаотична. Поэтому любой вычисленный численный множитель бесполезен. Тем не менее баллы не снимались, если множитель не был очень большим (\(>10\)). Очень большой множитель привёл бы к неточностям при использовании \(R\) для определения типа течения.

Решение 2 (анализ размерностей). Ищем безразмерное \(R=D^d\rho^r\mu^mv^u\). Масса, длина и время дают три уравнения: \[\begin{cases} r+m=0,\\ d-3r-m+u=0,\\ -m-u=0. \end{cases}\] Решая: \(m=-r\), \(u=r\), \(d=r\). Значит, \(R=(Dv\rho/\mu)^r\). Остаётся, казалось бы, одна степень свободы, но \(\mu\) входит только в ламинарное сопротивление (знаменатель \(F_T/F_L\)), так что \(m=-1\), а значит, \(r=1\): \[R=\frac{\rho vD}{\mu}.\] ii) Площадь сечения шланга \(\pi d^2/4\), поэтому по уравнению непрерывности средняя скорость течения \[v=\frac{Q}{\pi d^2/4}=\frac{4Q}{\pi d^2}\approx3{,}1\ \text{м/с}.\] Число Рейнольдса \[R=\frac{\rho vd}{\mu}=\frac{4\rho Q}{\pi d\mu}\approx37000.\] Так как \(37000\gg2500\), течение турбулентное.

iii) Мощность насоса \(P\) расходуется на три статьи: потенциальную энергию поднятой воды, работу против сопротивления в шланге и кинетическую энергию вытекающей струи. На единицу объёма они равны \(\rho gh\), \(\Delta p_{\text{сопр}}\) и \(\rho v_{\text{вых}}^2/2\). Баланс мощности: \[P=Q\Bigl(\rho gh+\Delta p_{\text{сопр}}+\frac12\rho v_{\text{вых}}^2\Bigr).\] Так как течение турбулентное (п. ii), сопротивление растёт как \(v^2\): \(\Delta p_{\text{сопр}}=kv^2\), где \(k\) — постоянная для данного шланга.

Калибровка (без насадки). Без насадки \(v_{\text{вых}}=v_0\) (скорость на выходе из шланга из п. ii), \(v_0\approx3{,}14\) м/с). Тогда \[P=Q\Bigl(\rho gh+kv_0^2+\frac12\rho v_0^2\Bigr).\] Численно: \[\rho gh=1{,}96\times10^5\ \text{Па},\qquad \frac12\rho v_0^2=4{,}93\times10^3\ \text{Па},\] \[\frac PQ-\rho gh-\frac12\rho v_0^2=kv_0^2\approx3{,}99\times10^5\ \text{Па},\qquad k=\frac{3{,}99\times10^5\ \text{Па}}{v_0^2}\approx4{,}04\times10^4\ \frac{\text{Па}\cdot\text{с}^2}{\text{м}^2}.\] С насадкой. Площадь выходного сечения в \(f\) раз меньше площади шланга; по непрерывности массового потока \(v'_{\text{вых}}=v'/f\), где \(v'\) — (новая) скорость течения в шланге. Подставляя в баланс мощности: \[P=\frac{\pi d^2}{4}\,v'\Bigl(\rho gh+kv'^2+\frac{\rho v'^2}{2f^2}\Bigr).\] Это кубическое уравнение для \(v'\).

Безразмерная форма. Введём \(x=v'/v_0\). Каждая из трёх статей в случае без насадки даёт долю полной мощности: \[a=\frac{\rho gh}{\rho gh+kv_0^2+\frac12\rho v_0^2},\quad b=\frac{kv_0^2}{\rho gh+kv_0^2+\frac12\rho v_0^2},\quad c=1-a-b.\] Численно: \(a\approx0{,}327\), \(b\approx0{,}665\), \(c\approx0{,}0082\). Баланс мощности принимает вид \[x\Bigl[a+\Bigl(b+\frac{c}{f^2}\Bigr)x^2\Bigr]=1.\] При \(f=0{,}15\): \(c/f^2\approx0{,}364\), так что \(b+c/f^2\approx1{,}029\): \[x^3+0{,}318\,x=0{,}972\quad\Rightarrow\quad x=(0{,}972-0{,}318\,x)^{1/3}.\] Итерации. Начав с \(x_0=1\) в правой части: \[x_1=(0{,}972-0{,}318)^{1/3}=0{,}868,\quad x_2=(0{,}972-0{,}276)^{1/3}=0{,}886,\quad x_3=(0{,}972-0{,}282)^{1/3}=0{,}884,\quad x_4=(0{,}972-0{,}281)^{1/3}=0{,}884.\] Сошлось: \(x\approx0{,}884\).

Результаты. \[\frac{Q'}{Q}=\frac{v'}{v_0}=x\approx0{,}88,\qquad\text{так что}\qquad Q'\approx22{,}1\ \text{л/мин}.\] Скорость на выходе \(v'_{\text{вых}}=v'/f=xv_0/f\), а избыточное давление на загрязнённой поверхности масштабируется как \(\rho v_{\text{вых}}^2/2\): \[\frac{p'_{\text{изб}}}{p_{\text{изб}}}=\frac{v'^2_{\text{вых}}}{v_0^2}=\frac{x^2}{f^2}=\frac{0{,}884^2}{0{,}15^2}\approx35.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.