Звук реактивного самолёта

При \(t\to\infty\) скорость самолёта почти направлена вдоль луча зрения, и обе ветви стремятся к доплеровским частотам \(f_0/(M\mp1)\). Звук, излучённый в момент прохождения над наблюдателем, слышен с частотой \(f_0\); время между «хлопком» и этим звуком даёт расстояние \(d\).

ii) \(M=\dfrac{f_2+f_1}{f_2-f_1}=1{,}5\);  iii) \(d=\dfrac{\tau c}{1-\sqrt{1-M^{-2}}}\approx1{,}5\) км.

i) На спектрограмме видны четыре качественные особенности.

(a) Тишина до \(t_0\). Так как звук распространяется с конечной скоростью, до его слышимости проходит некоторое время (эта особенность была бы и у не сверхзвукового самолёта).

(b) Широкополосный всплеск при \(t_0\). Целый интервал прошлых излучений достигает наблюдателя одновременно, образуя фронт ударной волны — «хлопок», — который регистрируется как короткий сильный пик давления на датчике и представляет собой суперпозицию широкого набора частот.

(c) Два одновременных тона при \(t>t_0\). Для каждого момента приёма \(t>t_0\) (положим \(t=0\)) вклад дают два различных прошлых события излучения, 1 и 2. Пусть звук от события 1, излучённый в момент \(-t_1\) с расстояния \(L_1\), приходит сейчас. Так как самолёт сверхзвуковой, существует второе излучение — событие 2 в более поздний момент \(-t_2\) на расстоянии \(L_2\) от нас, отделённое от события 1 расстоянием \(L_0\) вдоль траектории, — такое, что \[\frac{L_0}{v}=\frac{L_1-L_2}{c},\] т. е. время пролёта самолёта от 1 до 2 равно задержке звука \((L_1-L_2)/c\). Оба прихода доплеровски сдвинуты, но в разной степени: звук, идущий сзади (событие 1, самолёт далеко на подходе и приближается к наблюдателю), смещён в синюю сторону (верхняя ветвь), тогда как звук, идущий спереди (событие 2, самолёт удаляется после наибольшего сближения), смещён в красную сторону (нижняя ветвь).

(d) Ветви убывают со временем. Обе ветви расходятся при «хлопке» (широкополосный всплеск при \(t_0\)) и затем монотонно убывают, стремясь к конечным предельным значениям при \(t\to\infty\).

На рисунке: obs. — наблюдатель, event 1 (upper) — событие 1 (верхняя ветвь), event 2 (lower) — событие 2 (нижняя ветвь), jet at \(t\) — самолёт в момент \(t\).

ii) При \(t\to\infty\) скорость самолёта становится почти направленной вдоль луча зрения, поэтому радиальная скорость (составляющая вдоль линии от источника к наблюдателю) стремится к \(\pm v\). Классическая формула Доплера для источника, движущегося радиально со скоростью \(v_r\) относительно неподвижного наблюдателя, \[f=\frac{f_0}{|1\pm v_r/c|},\] со знаком \(-\) для приближающегося источника (\(v_r>0\), источник движется к наблюдателю) и \(+\) для удаляющегося. Применяя к двум асимптотическим пределам с \(|v_r|\to v\): \[f_2=\frac{f_0}{M-1}\ \text{(верхняя ветвь, приближение)},\qquad f_1=\frac{f_0}{M+1}\ \text{(нижняя ветвь, удаление)}.\] Комбинируя: \(\dfrac1{f_1}-\dfrac1{f_2}=\dfrac2{f_0}\) и \(\dfrac1{f_1}+\dfrac1{f_2}=\dfrac{2M}{f_0}\), так что \[f_0=\frac{2f_1f_2}{f_2-f_1},\qquad M=\frac{f_2+f_1}{f_2-f_1}.\] Считывая со спектрограммы: \(f_1\approx320\) Гц и \(f_2\approx1600\) Гц. Поэтому \[f_0=\frac{2\cdot320\cdot1600}{1280}=800\ \text{Гц},\qquad M=\frac{1920}{1280}=1{,}5.\] iii) Сигнал наибольшего сближения — это звук, излучённый, когда радиальная скорость самолёта равна нулю (самолёт прямо над наблюдателем, точка \(B\)). При этом излучении \(v_r=0\), поэтому принимаемая частота равна \(f_0\). Из асимптотических соотношений п. ii) \[f_0=\frac{2f_1f_2}{f_2-f_1}=\frac{2\cdot320\cdot1600}{1280}=800\ \text{Гц}.\] Наблюдатель слышит эту частоту на нижней ветви (удаляющаяся ветвь пересекает \(f_0\), когда самолёт пролетает над наблюдателем). Считаем \(t_1\) со спектрограммы как момент, когда нижняя ветвь пересекает \(f_0=800\) Гц.

Положим \(t=0\) в момент, когда самолёт излучает звук, который наблюдатель в итоге услышит как «хлопок»; назовём это положение \(A\). Пусть \(J\) — положение самолёта в момент, когда наблюдатель слышит «хлопок», а \(O\) — наблюдатель. Тогда \[|AJ|=vt,\qquad|AO|=ct,\] а условие касания «хлопка» фиксирует \(\angle AOJ=\pi/2\) (волновой фронт от \(A\) как раз скользит по наблюдателю). В частности, \(\sin(\angle AJO)=|AO|/|AJ|=1/M\), и \(\angle AJO\) есть угол Маха \(\alpha\).

Пусть \(B\) — основание перпендикуляра из \(O\) на траекторию \(AJ\), так что \(|OB|=d\) (наименьшее расстояние). Прямоугольные треугольники \(\triangle JOA\) и \(\triangle OBA\) подобны (оба прямоугольные с общим углом при \(A\)). Из подобия: \[|BA|=\frac{|OA|^2}{|JA|}=\frac{ct}{M},\qquad d=\frac{|OA|\cdot|JO|}{|JA|}=\frac{ct\sqrt{M^2-1}}{M}.\] Наблюдатель слышит «хлопок» в момент \(t\), а сигнал наибольшего сближения — в момент \(|BA|/v+d/c\). Запаздывание \[\tau=\frac{|BA|}{v}+\frac dc-t,\qquad \tau=\frac{t}{M^2}+\frac{t\sqrt{M^2-1}}{M}-t.\] Исключая \(t\) с помощью \(t=dM/(c\sqrt{M^2-1})\) и упрощая: \[\tau c=d\Bigl(1-\sqrt{1-M^{-2}}\Bigr),\qquad d=\frac{\tau c}{1-\sqrt{1-M^{-2}}}.\] Считывая со спектрограммы: \(t_0\approx3{,}3\) с (начало «хлопка») и \(t_1\approx4{,}4\) с (нижняя ветвь пересекает 800 Гц), так что \(\tau\approx1{,}1\) с. При \(M=1{,}5\): \[1-\sqrt{1-1/2{,}25}=1-\sqrt{0{,}5556}\approx0{,}255,\qquad d=\frac{340\cdot1{,}1}{0{,}255}\approx1{,}5\ \text{км}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.