Углекислотный огнетушитель

Подсказка

Обратимое адиабатическое расширение — изоэнтропическое, на диаграмме \(T\)–\(s\) оно идёт по вертикали; доля твёрдой фазы в двухфазной области находится по правилу рычага. В п. iii) сравните наклон адиабаты с наклоном кривой насыщения.

Ответ

i) смесь твёрдого CO\(_2\) и пара при \(T\approx195\) К (\(-78\ ^\circ\text{C}\)); ii) \(x_a\approx0{,}40\), \(x_b\approx0{,}25\); iii) \(L>c_pT\), для воды \(L/(c_pT)\approx3\), конденсация происходит.

Решение

i) При атмосферном давлении \(p_{\text{атм}}=1{,}0\times10^5\) Па, которое ниже давления тройной точки \(p_{\text{т}}=5{,}18\times10^5\) Па, жидкий CO\(_2\) существовать не может. Поэтому выходящая струя — либо чистый пар, либо чистое твёрдое тело, либо смесь твёрдого тела с паром.

Чистое твёрдое тело невозможно: жёсткое (несжимаемое) твёрдое тело не может расширяться или ускоряться в сужающемся–расширяющемся сопле. Значит, на выходе либо чистый пар, либо смесь твёрдого тела с паром; во втором случае температура должна быть температурой сублимации при 1 атм, \(T_{\text{субл}}\approx195\) К (\(\approx-78\ ^\circ\text{C}\)).

Проследим изоэнтропу от начального состояния до \(p=1\) бар на приведённой \(T\)–\(s\) диаграмме: в обоих сценариях (a) и (b) траектория пересекает границу насыщения и попадает в двухфазную область. Следовательно, струя — смесь твёрдого тела и пара при \(T\approx195\) К в обоих случаях.

ii) Расширение в сопле обратимо и адиабатично, значит изоэнтропично: удельная энтропия \(s\) сохраняется между входом и выходом. На \(T\)–\(s\) диаграмме траектория поэтому вертикальна (\(s=\text{const}\)), пока не пересечёт границу фаз или выбранную изобару.

Давление на выходе \(p_{\text{атм}}=1\) бар, намного ниже давления тройной точки \(p_{\text{т}}=5{,}18\) бар. Согласно п. i), состояние на выходе — в двухфазной (твёрдое тело + пар) области при \(T_{\text{субл}}(1\ \text{бар})\approx195\) К (\(-78\ ^\circ\text{C}\)).

Правило рычага. В двухфазной области при фиксированных \(p\), \(T\) полная удельная энтропия смеси с массовой долей \(x\) твёрдой фазы (и \(1-x\) пара) \[s_{\text{кон}}=x\,s_{\text{тв}}+(1-x)\,s_{\text{пар}},\qquad x=\frac{s_{\text{пар}}-s_{\text{кон}}}{s_{\text{пар}}-s_{\text{тв}}},\] где \(s_{\text{тв}}\) и \(s_{\text{пар}}\) — энтропии чистого твёрдого тела и чистого пара на границах двухфазной области при \(p=1\) бар.

Считывание энтропий с \(T\)–\(s\) диаграммы. При \(p=1\) бар (изобара сублимации при \(T\approx-78\ ^\circ\text{C}\)) границы: \[s_{\text{тв}}\approx400(50)\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{К}},\qquad s_{\text{пар}}\approx3250(50)\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{К}}.\] Начальные энтропии для двух сценариев считываются при \(T_0=298\) К (\(25\ ^\circ\text{C}\)) на кривой насыщения:

• сценарий (a), насыщенная жидкость при \(T_0\): \(s_a\approx2100(50)\) Дж/(кг\(\cdot\)К);

• сценарий (b), насыщенный пар при \(T_0\): \(s_b\approx2550(50)\) Дж/(кг\(\cdot\)К).

Массовые доли. Применяя правило рычага к каждому случаю: \[x_a=\frac{3250-2100}{3250-400}=\frac{1150}{2850}\approx0{,}40,\qquad x_b=\frac{3250-2550}{3250-400}=\frac{700}{2850}\approx0{,}25.\] Таким образом, огнетушитель с подачей жидкости (a) даёт струю, содержащую \(\sim40\ \%\) сухого льда (и \(60\ \%\) пара) по массе, а огнетушитель с подачей пара (b) — лишь \(\sim25\ \%\) сухого льда. Жидкостный сценарий даёт примерно в \(1{,}6\) раза больше твёрдого CO\(_2\) на единицу выброшенной массы — поэтому огнетушители делают так, чтобы забирать жидкость.

iii) Рассмотрим бесконечно малое изоэнтропическое (обратимое адиабатическое) расширение насыщенного пара из состояния \((T,p_{\text{нас}}(T))\). В этой точке сходятся две траектории: кривая насыщения \(p_{\text{нас}}(T)\) и адиабата (постоянная энтропия). Расширение идёт по адиабате. Если адиабата оказывается ниже кривой насыщения на плоскости \(T\)–\(p\) (т. е. пар охлаждается медленнее, чем падает температура насыщения при падении давления), то конечная доля пара конденсируется в капли. Иначе расширение остаётся в области чистого пара.

Наклон кривой насыщения (Клапейрон — Клаузиус). У насыщенного пара над жидкостью числовая плотность \(n_{\text{пар}}\) находится в тепловом равновесии с жидкостью. По распределению Больцмана вероятность нахождения молекулы в паровом состоянии (энергия \(\ell\) на молекулу выше, чем в жидкости) по отношению к жидкому \[\frac{n_{\text{пар}}}{n_{\text{ж}}}\propto\exp\Bigl(-\frac{\ell}{k_BT}\Bigr).\] Считая \(n_{\text{ж}}\) не зависящей от \(T\) и используя \[p_{\text{нас}}=n_{\text{пар}}k_BT\approx(\text{const})\cdot T\exp(-\ell/k_BT),\] основная температурная зависимость экспоненциальная. На единицу массы \(\ell/k_B=L/R_s\), где \(R_s\) — удельная газовая постоянная пара. Дифференцируя \(\ln p_{\text{нас}}\): \[\frac1{p_{\text{нас}}}\frac{dp_{\text{нас}}}{dT}=\frac{L}{R_sT^2}.\] Эквивалентно \[\Bigl(\frac{dT}{dp}\Bigr)_{\text{нас}}=\frac{R_sT^2}{pL}.\] Наклон адиабаты. Для адиабаты идеального газа \(Tp^{(1-\gamma)/\gamma}=\text{const}\), с \(R_s=c_p-c_v\) и \(\gamma=c_p/c_v\): \[\Bigl(\frac{dT}{dp}\Bigr)_{\text{адиаб}}=\frac{R_sT}{c_pp}.\] Условие конденсации. Пар конденсируется при расширении тогда и только тогда, когда адиабата охлаждается меньше, чем кривая насыщения, т. е. \(\dfrac{dT}{dp}\Big|_{\text{адиаб}}<\dfrac{dT}{dp}\Big|_{\text{нас}}\): \[\frac{R_sT}{c_pp}<\frac{R_sT^2}{pL},\qquad L>c_pT.\] Численная проверка (вода при \(T=373\) К). \(L=2260\) кДж/кг, \(c_p=2{,}0\) кДж/(кг\(\cdot\)К): \[\frac{L}{c_pT}=\frac{2260}{2{,}0\cdot373}\approx3{,}0>1.\] Значит, водяной пар при изоэнтропическом расширении конденсируется. Именно поэтому пар из чайника выглядит как видимый белый шлейф мелких капелек, а не как невидимый чистый водяной пар.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.