Волны от движущегося источника

Подсказка

Время прихода звука зависит от момента излучения: \(t=\tau+\sqrt{V^2\tau^2+h^2}/c\); при \(V>c\) у этой функции появляется минимум — это и есть ударная волна, а частоту даёт производная \(\Delta t/\Delta\tau\).

Ответ

2.2) впервые звук слышен при \(t_{\min}=\frac{h}{cV}\sqrt{V^2-c^2}\), источник в точке \(x_1=h\sqrt{V^2/c^2-1}\); 2.4) \(\sin\alpha=c/V\), от частоты не зависит; 3.1) \(\nu_\pm=\nu_0/(1\pm V/c)\); 4.1) \(E_{\min}\approx777\) кэВ; 4.2) \(U\approx2{,}65\cdot10^5\) В; 4.3) кольцо радиусом \(R\approx14\) см.

Решение

1. Принцип Гюйгенса. Требуемое построение, показано на рисунке. Следует отметить, что во втором случае \(V_0 = 2c\) появляется огибающая, которая и является фронтом ударной волны.

2. Конус Маха.

В момент времени \(\tau\) источник находился в точке с координатой \(x = V\tau\), на расстоянии

\[r = \sqrt{x^2 + h^2} = \sqrt{V^2\tau^2 + h^2}\tag{1}\]

Звук «запоздает» на время, за которое от пройдет это расстояние, Следовательно, дойдет до наблюдателя в момент времени

\[t = \tau + \frac{\sqrt{V^2\tau^2 + h^2}}{c}.\tag{2}\]

Для построения примерного графика этой функции можно отметить его следующие характерные особенности:

при \(\tau = 0\) \(t = \frac{h}{c}\), что соответствует времени, которое необходимо, чтобы звук прошел расстояние \(h\); при \(\tau \to +\infty\) \(t \approx \tau + \frac{V}{c}\tau\), то есть график имеет асимптоту; при \(\tau \to -\infty\) \(t \approx \tau - \frac{V}{c}\tau\) (надо правильно извлекать корень!) – вторая асимптота. И вот здесь кроется самое интересное: при \(V > c\) коэффициент наклона второй асимптоты становится отрицательным, следовательно, в этом случае функция (2) имеет точку минимума. Поэтому графики данной зависимости имеют вид, показанный на рисунке. Не сложно найти положение этого минимума: вычисляя производную от функции (2) и полагая ее равной нулю, получим уравнение

\[t ^ { \prime } = 1 + \frac { V ^ { 2 } \tau } { c \sqrt { V ^ { 2 } \tau ^ { 2 } + h ^ { 2 } } } = 0\tag { 3 }\]

Это уравнение имеет единственный корень при \(V > c\) :

\[\tau ^ { * } = - \frac { h } { V \sqrt { \frac { V ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } - 1 } } .\tag { 4 }\]

Поэтому наблюдатель впервые услышит звук в момент времени

\[t _ { \min } = t \left( \tau ^ { * } \right) = \frac { h } { c V } \sqrt { V ^ { 2 } - c ^ { 2 } } \ .\tag { 5 }\]

Источник в этот момент времени будет находиться в точке с координатой

\[x _ { 1 } = V t _ { \min } = h \sqrt { \frac { V ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } - 1 } \ .\tag { 6 }\]

В более поздние моменты времени наблюдатель будет одновременно слышать звуки, идущие от разных источников, движущихся в противоположных направлениях.

Именно наличие экстремума свидетельствует о возникновении ударной волны. Потому, что в течение малого промежутка времени \(\Delta t\) практически одновременно будут приходить волны, испущенные в течение гораздо более длительного промежутка \(\Delta \tau\).

Формально можно поступить следующим образом. Пусть мощность источника равна \(P\). В течение бесконечно малого промежутка времени \(d\tau\) он испустит энергию \(dE_0 = P d\tau\). Какая-то ее часть \(dE_1 = \beta P d\tau\) (она определяется геометрией расположения источника и наблюдателя и размером ушей последнего) будет принята в течение промежутка времени \(dt\), поэтому воспринимаемая мощность определяется по формуле

\[P _ { 1 } = \frac { d E _ { 1 } } { d t } = \beta P \frac { d \tau } { d t } = \frac { \beta P } { t ^ { \prime } } \ .\tag { 7 }\]

В точке экстремума эта мощность устремляется к бесконечности, что свидетельствует о наличии ударной волны.

Угол полураствора конуса Маха можно найти либо из построения Гюйгенса, либо из формулы (6), в любом случае он определяется соотношением

\[\sin \alpha = \frac { c } { V } \ .\tag { 8 }\]

3. Эффект Доплера.

Формулы для эффекта Доплера можно получить различными способами. В данном случае простейшим из них является способ, основанный на использовании полученной зависимости (2).

Если считать период волны, испускаемой источником малой величиной (\(T_0 = \Delta\tau\)), то воспринимаемый период также можно считать малой величиной\(^2\) (\(T_1 = \Delta t\)). Их отношение можно найти, как производную от функции (2)

\[\frac{T_1}{T_0} = \frac{\Delta t}{\Delta\tau} = t'.\tag{9}\]

Эту производную мы уже вычисляли, поэтому сразу запишем:

\[\frac{\nu}{\nu_0} = \frac{T_0}{T_1} = \frac{1}{1 + \frac{V^2\tau}{c\sqrt{V^2\tau^2 + h^2}}}.\tag{10}\]

Для получения окончательного результата необходимо выразить \(\tau\) через \(t\), то есть решить уравнение (2) относительно \(\tau\).

Если наблюдатель находится на оси, вдоль которой движется источник, то воспринимаемую частоту можно найти из формулы (10), если положить \(h = 0\). В этом случае получим

\[\nu_{\pm} = \frac{\nu_0}{1 \pm \frac{V}{c}}.\tag{11}\]

Знак плюс соответствует наблюдателю находящемуся позади источника (источник удаляется), так как в этом случае в формуле (10) \(\tau > 0\). Знак минус – случаю, когда источник приближается к наблюдателю\(^3\).

Для наблюдателя, находящегося сбоку от линии движения источника, частота будет монотонно изменяться от \(\nu_-\) до \(\nu_+\). Для звука, испущенного в момент времени \(\tau = 0\) и пришедшего в момент времени \(t = \frac{h}{c}\), частота останется неизменной.

\(^2\) Очень интересный вопрос – а что такое частота в данный момент времени? чтобы говорить о частоте, надо зарегистрировать хотя бы одно колебание! Но в физике есть понятие физически малая величина: мала настолько, что можно считать дифференциалом, но велика настолько, что содержит большое число... в данном случае периодов колебаний.

\(^3\) Надо правильно извлекать корень квадратный!

4. Излучение Вавилова-Черенкова.

4.1 Излучение начнется, если скорость электронов превысит скорость света в воде, то есть при \(v = \frac{c}{n}\). В этом случае полная энергия электрона будет равна

\[E_{\min} = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{E_0}{\sqrt{1 - \frac{1}{n^2}}},\tag{12}\]

где \(E_0 = mc^2\) - энергия покоя электрона. Ее численное значение (в эВ) равно

\[E_0 = \frac{mc^2}{e} = \frac{9{,}1 \cdot 10^{-31} \cdot (3{,}0 \cdot 10^8)^2}{1{,}6 \cdot 10^{-19}} = 512 \, \text{кэВ}.\tag{13}\]

Минимальная энергия равна

\[E_{\text{мин}} = \frac{E_0}{\sqrt{1 - \frac{1}{n^2}}} = \frac{512 \, \text{кэВ}}{\sqrt{1 - \frac{1}{1{,}33^2}}} = 777 \, \text{кэВ},\tag{14}\]

4.2 При ускорении электрон должен пройти ускоряющую разность потенциалов, которая находится из условия (записано в эВ)

\[U = E_{\text{мин}} - E_0 = E_0 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{n^2}}} - 1 \right) = 2{,}65 \cdot 10^5 \, \text{В}.\tag{15}\]

4.3 Так как за каждым электроном «тянется» световой конус, то при попадании его на линзу, в ее фокальной плоскости образуется кольцо, радиус которого углом полураскрытия конуса (не забыть учесть преломление на задней грани сосуда с водой!), а этот угол определяется скоростью электронов. Скорость электронов найдем из формулы

\[2E_{\text{мин}} = \frac{E_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 2 \frac{E_0}{\sqrt{1 - \frac{1}{n^2}}} \quad \Rightarrow \quad v = \frac{c}{2n} \sqrt{3n^2 + 1}.\tag{16}\]

В соответствии с полученным ранее результатом, угол полураскрытия светового конуса определяется условием

\[\sin \alpha = \frac{c}{nv} = \frac{2}{\sqrt{3n^2 + 1}} = 0{,}796.\tag{17}\]

Для дальнейших расчетов удобно перейти от волнового фронта к лучам, которые перпендикулярны фронту. Как следует из рисунка, закон преломления на задней стенке имеет вид:

\[n \cos \alpha = \sin \gamma\tag{18}\]

Из этого выражение определяем угол \(\gamma\) (именно под этим углом к оптической оси лучи будут попадать на линзу): \(\gamma = 53{,}6^\circ\) Теперь находим радиус кольца на экране:

\[R = F \operatorname{tg} \gamma \approx 14 \, \text{см}.\tag{19}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.