Столкновение дисков с поверхностным трением

Удар не центральный, и сила трения в точке касания закручивает оба диска. Запишите сохранение импульса вдоль нормали и касательной, сохранение момента импульса относительно точки O, связь импульса силы трения с моментом импульса диска B и условие равенства касательных скоростей точек касания.

1) Пусть при столкновении диска A с диском B \(n\) — единичный вектор нормали к поверхностям в точке касания, а \(t\) — касательный единичный вектор, как показано на рисунке. Пусть \(\varphi\) — угол между \(n\) и осью \(x\). Тогда \[b = (R_A + R_B)\sin\varphi .\] Составляющие импульсов A и B вдоль \(n\) и \(t\) до столкновения: \[mV_{An} = mV\cos\varphi, \quad mV_{Bn} = 0 ,\] \[mV_{At} = mV\sin\varphi, \quad mV_{Bt} = 0 .\] Обозначим соответствующие составляющие импульсов A и B после столкновения через \(mV'_{An}\), \(mV'_{Bn}\), \(mV'_{At}\) и \(mV'_{Bt}\). Пусть \(\omega_A\) и \(\omega_B\) — угловые скорости A и B относительно осей, проходящих через их центры, после столкновения, а \(I_A\) и \(I_B\) — соответствующие моменты инерции. Тогда \[I_A = \frac12 mR_A^2, \qquad I_B = \frac12 mR_B^2 .\] Закон сохранения импульса даёт \[mV\cos\varphi = mV'_{An} + mV'_{Bn} , \qquad (1)\] \[mV\sin\varphi = mV'_{At} + mV'_{tn} . \qquad (2)\]

Закон сохранения момента импульса относительно оси, проходящей через O, даёт \[mVb = mV'_{At}(R_A + R_B) + I_A\omega_A + I_B\omega_B . \qquad (3)\] Импульс силы трения, действующей на B во время столкновения, вызывает изменение импульса \(mV'_{At}\) вдоль \(t\) и одновременно создаёт момент импульса \(I_B\omega_B\). Они связаны соотношением \[mV'_{Bt}R_b = I_B\omega_B . \qquad (4)\]

Во время столкновения A и B в точке касания приобретают одинаковые касательные скорости, поэтому \[V'_{At} - \omega_A R_A = V'_{Bt} - \omega_B R_B . \qquad (5)\] По условию модули относительных скоростей двух дисков вдоль нормали до и после столкновения равны, т. е. \[V\cos\varphi = V'_{Bn} - V'_{An} . \qquad (6)\] Из уравнений (1) и (6) получаем \[V'_{An} = 0 , \qquad V'_{Bn} = V\cos\varphi .\] Из уравнений (2)–(5) получаем \[V'_{At} = \frac56 V\sin\varphi , \qquad V'_{Bt} = \frac16 V\sin\varphi ,\] \[\omega_A = \frac{V\sin\varphi}{3R_A} , \qquad \omega_B = \frac{V\sin\varphi}{3R_B} .\] Составляющие скоростей по \(x\) и \(y\) после столкновения: \[V'_{Ax} = V'_{An}\cos\varphi + V'_{At}\sin\varphi = \frac{5Vb^2}{6(R_A+R_B)^2} , \qquad (7)\] \[V'_{Ay} = -V'_{An}\sin\varphi + V'_{At}\cos\varphi = \frac{5Vb\sqrt{(R_A+R_B)^2 - b^2}}{6(R_A+R_B)^2} , \qquad (8)\] \[V'_{Bx} = V'_{Bn}\cos\varphi + V'_{Bt}\sin\varphi = \left[1 - \frac{5b^2}{6(R_A+R_B)^2}\right] , \qquad (9)\]

\[V'_{By} = -V'_{Bn}\sin\varphi + V'_{Bt}\cos\varphi = -\frac{5Vb\sqrt{(R_A+R_B)^2 - b^2}}{6(R_A+R_B)^2} . \qquad (10)\]

2) После столкновения кинетическая энергия диска A равна \[E'_A = \frac12 m(V'^2_{Ax} + V'^2_{Ay}) + \frac12 I_A\omega_A^2 = \frac{3mV^2b^2}{8(R_A+R_B)^2} , \qquad (11)\] а кинетическая энергия диска B равна \[E'_B = \frac12 m(V'^2_{Bx} + V'^2_{By}) + \frac12 I_B\omega_B^2 = \frac12 mV^2\left[1 - \frac{11b^2}{12(R_A+R_B)^2}\right] . \qquad (12)\]