Релятивистская частица

Подсказка

Без энергии покоя энергия частицы равна \(|p|c\), поэтому величина \(|p|c + f|x|\) сохраняется, а скорость всё время равна \(c\). В покоящемся мезоне кварки движутся симметрично, и задача сводится к одной частице с половиной энергии. Преобразование Лоренца линейно — достаточно пересчитать точки поворота.

Решение

1) 1a. Примем центр силы за начало пространственной координаты \(x\) и за точку нулевого потенциала; тогда потенциальная энергия частицы \[U(x) = f|x| . \qquad (1)\] Полная энергия равна \[W = \sqrt{p^2c^2 + m_0^2c^4} + f|x| .\]

1b. Пренебрегая энергией покоя, получаем \[W = |p|c + f|x| . \qquad (2)\] Поскольку \(W\) сохраняется в течение всего движения, имеем \[W = |p|c + f|x| = p_0c . \qquad (3)\] Направим ось \(x\) вдоль начального импульса частицы: \[\left.\begin{aligned} pc + fx &= p_0c &&\text{при } x>0,\ p>0;\\ -pc + fx &= p_0c &&\text{при } x>0,\ p<0;\\ pc - fx &= p_0c &&\text{при } x<0,\ p>0;\\ -pc - fx &= p_0c &&\text{при } x<0,\ p<0. \end{aligned}\right\} \qquad (4)\] Максимальному удалению частицы от начала координат, обозначим его \(L\), соответствует \(p=0\). Оно равно \[L = p_0c/f .\]

1c. Из уравнения (3) и закона Ньютона \[\frac{dp}{dt} = F = \begin{cases} -f, & x>0;\\ f, & x<0; \end{cases} \qquad (5)\] находим скорость частицы: \[\left|\frac{dx}{dt}\right| = \frac{c}{f}\left|\frac{dp}{dt}\right| = c , \qquad (6)\] т. е. частица с очень высокой энергией всё время движется со скоростью света, за исключением области, чрезвычайно близкой к точкам \(x = \pm L\). Время движения частицы от начала координат до точки \(x = L\), обозначим его \(\tau\), равно \[\tau = L/c = p_0/f .\] Итак, частица движется туда и обратно между точками \(x = L\) и \(x = -L\) со скоростью \(c\) и периодом \(4\tau = 4p_0/f\). Зависимость \(x\) от \(t\): \[\left.\begin{aligned} x &= ct, && 0 \le t \le \tau,\\ x &= 2L - ct, && \tau \le t \le 2\tau,\\ x &= 2L - ct, && 2\tau \le t \le 3\tau,\\ x &= ct - 4L, && 3\tau \le t \le 4\tau. \end{aligned}\right\} \qquad (7)\] Искомый ответ показан на рис. 1 и рис. 2.

Рис. 1 и рис. 2 (на рисунке Fig. — рис.)

2) Полную энергию системы двух кварков можно записать в виде \[Mc^2 = |p_1|c + |p_2|c + f|x_1 - x_2| , \qquad (8)\] где \(x_1\), \(x_2\) — координаты, а \(p_1\), \(p_2\) — импульсы кварка 1 и кварка 2 соответственно. Для покоящегося мезона полный импульс двух кварков равен нулю, и кварки движутся симметрично в противоположных направлениях: \[p = p_1 + p_2 = 0, \qquad p_1 = -p_2, \qquad x_1 = -x_2 . \qquad (9)\] Обозначим через \(p_0\) импульс кварка 1 в точке \(x=0\); тогда \[Mc^2 = 2p_0c \quad\text{или}\quad p_0 = Mc/2 . \qquad (10)\] Из уравнений (8), (9) и (10) половину полной энергии можно выразить через \(p_1\) и \(x_1\) кварка 1: \[p_0c = |p_1|c + f|x_1| , \qquad (11)\] как если бы это была задача об одной частице, как в пункте 1 (уравнение (3)), с начальным импульсом \(p_0 = Mc/2\). Из ответа пункта 1 получаем диаграммы \((x, t)\) и \((p, x)\) движения кварка 1, показанные на рис. 3 и 4. Для кварка 2 ситуация аналогична, только знаки \(x\) и \(p\) меняются на противоположные; его диаграммы \((x, t)\) и \((p, x)\) показаны на рис. 3 и 4.

Максимальное расстояние между двумя кварками, как видно из рис. 3, равно \[d = 2L = 2p_0c/f = Mc^2/f . \qquad (12)\]

Рис. 3. На рисунке: \(x_1\): solid line — \(x_1\): сплошная линия; \(x_2\): dash line — \(x_2\): штриховая линия.

Рис. 4а — кварк 1, рис. 4б — кварк 2 (на рисунке Fig. — рис., Quark — кварк).

3) Система отсчёта \(S\) движется с постоянной скоростью \(V = 0{,}6c\) относительно лабораторной системы \(S'\) в направлении оси \(x'\), и начала координат двух систем совпадают в начальный момент (\(t = t' = 0\)). Преобразование Лоренца между этими двумя системами имеет вид \[\begin{aligned} x' &= \gamma(x + \beta ct),\\ t' &= \gamma(t + \beta x/c), \end{aligned} \qquad (13)\] где \(\beta = V/c\) и \(\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}\). При \(V = 0{,}6c\) имеем \(\beta = 3/5\) и \(\gamma = 5/4\). Поскольку преобразование Лоренца линейно, прямая на диаграмме \((x, t)\) переходит в прямую на диаграмме \((x', t')\), поэтому достаточно вычислить координаты точек поворота в системе \(S'\).

Для кварка 1 координаты точек поворота в системах \(S\) и \(S'\) таковы:

где \(L = p_0c/f = Mc^2/2f\), \(\tau = p_0/f = Mc/2f\).

Для кварка 2 имеем:

По этим результатам диаграммы \((x', t')\) двух кварков показаны на рис. 5.

Уравнения прямых \(OA\) и \(OB\): \[x_1'(t') = ct'; \qquad 0 \le t' \le \gamma(1+\beta)\tau = 2\tau; \qquad (14\text{a})\] \[x_2'(t') = -ct'; \qquad 0 \le t' \le \gamma(1-\beta)\tau = \frac12\tau . \qquad (14\text{б})\] Расстояние между двумя кварками достигает максимума \(d'\) при \(t' = \frac12\tau\), так что максимальное расстояние равно \[d' = 2c\gamma(1-\beta)\tau = 2\gamma(1-\beta)L = \frac{Mc^2}{2f} . \qquad (15)\]

Рис. 5. На рисунке: \(x_1\): solid lines — \(x_1\): сплошные линии; \(x_2\): dashed lines — \(x_2\): штриховые линии.

4) Мезон движется со скоростью \(V = 0{,}6c\) относительно лабораторной системы, поэтому его энергия, измеренная в лабораторной системе, равна \[E' = \frac{Mc^2}{\sqrt{1-\beta^2}} = \frac{1}{0{,}8}\times 140 = 175\text{ МэВ}.\]