Брусок в конденсаторе

Воспользуемся законом сохранения энергии системы <<источник–конденсатор–брусок>>. Источник тока совершает работу по увеличению электрической энергии конденсатора и кинетической энергии бруска: \[(q - q_0)U = \dfrac{CU^2}{2} - \dfrac{C_0U^2}{2} + \dfrac{mv^2}{2},\tag{1}\] где \(q\) — заряд конденсатора в текущий момент времени, \(q_0\) — начальный заряд конденсатора, \(m\) — масса бруска, \(v\) — текущее значение его скорости.

Поскольку \(q = CU\), \(q_0 = C_0U\), выражение (1) преобразуем к виду \[\dfrac{(C - C_0)U^2}{2} = \dfrac{mv^2}{2}.\tag{2}\] Обозначим через \(x\) расстояние, на которое брусок вошёл между пластинами конденсатора. Тогда \[C - C_0 = \dfrac{\varepsilon_0(\varepsilon - 1)\left(x - \dfrac{b}{2}\right)b}{d}.\tag{3}\] Подставим (3) в (2): \[\left[\dfrac{\varepsilon_0(\varepsilon - 1)bU^2}{2d}\right]\left(x - \dfrac{b}{2}\right) = \dfrac{mv^2}{2}.\tag{4}\] Известно, что работа силы \(F\) по перемещению \((x - x_0)\) тела массы \(m\) равна изменению кинетической энергии тела: \[F(x - x_0) = \dfrac{mv^2}{2}.\tag{5}\] Сравнивая (4) и (5), видим, что на брусок в конденсаторе действует сила \(F\), равная выражению в квадратных скобках. Следовательно, ускорение бруска \[a = \dfrac{F}{m} = \dfrac{\varepsilon_0(\varepsilon - 1)U^2}{2bd^2\rho}.\tag{6}\] Брусок будет двигаться со скоростью \[v = at = \dfrac{\varepsilon_0(\varepsilon - 1)U^2}{2bd^2\rho}t\] до момента времени \(\tau = \sqrt{\dfrac{b}{a}}\), когда брусок полностью втянется в конденсатор и его скорость достигнет максимального значения, равного \[v_{\max} = \sqrt{ab}.\] Затем она будет уменьшаться по линейному закону \(v = a(2\tau - t)\) до момента времени \(2\tau\). После этого все этапы движения повторятся в обратном порядке (см. рисунок).