Диэлектрическая жидкость

Заряд конденсатора не меняется, а энергия извне не поступает: рост потенциальной энергии поднятой жидкости происходит за счёт уменьшения энергии конденсатора, ёмкость которого — сумма ёмкостей частей с жидкостью и без неё.

Начальная энергия конденсатора \[W_o = \frac12\cdot C_oU_o^2 = \frac12\cdot\frac{Q_o^2}{C_o}, \quad\text{где}\quad C_o = \frac{\varepsilon_o Hl}{d}, \tag{1}\] \(H\) — высота пластин, \(l\) — ширина пластин конденсатора, \(d\) — расстояние между пластинами.

Когда пластины касаются поверхности жидкости, на диэлектрическую жидкость действует вертикальная сила. Полный электрический заряд остаётся постоянным, и энергия к системе извне не подводится. Увеличение гравитационной энергии компенсируется уменьшением электрической энергии конденсатора: \[W_o = W_1 + W_2, \tag{2}\] \[W_1 = \frac12\cdot\frac{Q_o^2}{C}, \quad W_2 = \frac12\rho gh^2 ld, \tag{3}\] \[C = C_1 + C_2 = \frac{\varepsilon_o\varepsilon_r hl}{d} + \frac{\varepsilon_o(H - h)l}{d}. \tag{4}\] Подставляя (3) и (4) в уравнение (2), получаем \[(\varepsilon_r - 1)h^2 + Hh - \frac{E_o^2\varepsilon_o H(\varepsilon_r - 1)}{\rho g} = 0.\] Решение: \[h_{1,2} = \frac{H}{2(\varepsilon_r - 1)}\cdot\left[-1 \pm \sqrt{1 \pm \frac{4E_o^2\varepsilon_o(\varepsilon_r - 1)^2}{\rho gH}}\right]. \tag{8}\]

Обсуждение: смысл имеет только положительное решение. Учитывая, что \(H\) много больше \(h\), получаем окончательный результат: \[h \approx \frac{\varepsilon_o(\varepsilon_r - 1)}{\rho g}\cdot E_o^2.\]