Молекулярная физика

При упругом ударе о медленно движущийся поршень молекула теряет энергию \(2m_0 u v_z\); просуммировав по молекулам, свяжите изменение внутренней энергии с работой при расширении. Кислород изотермический, поэтому теплота, отданная термостату, равна убыли внутренней энергии аргона.

а) Будем считать аргон идеальным одноатомным газом, а столкновения атомов с поршнем — абсолютно упругими. При таком столкновении с неподвижной стенкой скорость \(\vec v\) частицы меняет только направление, так что скорость \(\vec v\) и скорость \(\vec v\,'\) после удара лежат в одной плоскости с нормалью, а углы падения и отражения равны: \[v_n' = -v_n, \quad v_t' = v_t. \tag{1}\] В задаче стенка движется со скоростью \(\vec u\), перпендикулярной стенке. Относительная скорость частицы относительно стенки равна \(\vec v - \vec u\). Выбрав ось \(Oz\) перпендикулярно стенке в направлении \(\vec u\), из условий упругого удара получаем \[\left(\vec v - \vec u\right)_z = -\left(\vec v\,' - \vec u\right)_z, \quad \left(\vec v - \vec u\right)_{x,y} = \left(\vec v\,' - \vec u\right)_{x,y};\] \[v_z - u = -\left(v_z' - u\right), \quad v_z' = 2u - v_z, \quad v_{x,y}' = v_{x,y}. \tag{2}\] Приращение кинетической энергии частицы массой \(m_o\) после удара \[\frac12 m_o v'^2 - \frac12 m_o v^2 = \frac12 m_o\left(v_z'^2 - v_z^2\right) = 2m_o u\left(u - v_z\right) \cong -2m_o u v_z, \tag{3}\] поскольку \(u\) много меньше \(v_z\).

Если \(n_k\) — число молекул в единице объёма с компонентой скорости \(v_{zk}\), то число молекул с такой компонентой, которые за время \(dt\) ударяются о площадку \(dS\) поршня, равно \[\frac12 n_k v_{zk}\,dt\,dS. \tag{4}\] Кинетическая энергия этих молекул изменяется на \[\frac12 n_k v_{zk}\,dt\,dS\left(-2m_o u v_{zk}\right) = -m_o n_k v_{zk}^2\,dV, \tag{5}\] где \(dV = u\,dt\,dS\) — приращение объёма газа.

Изменение кинетической энергии газа, соответствующее приращению объёма \(dV\): \[dE_c = -m_o\,dV\sum_k n_k v_{zk}^2 = -\frac13 n m_o\overline{v^2}\,dV \tag{6}\] и \[dU = -\frac23 N\,\frac{m_o\overline{v^2}}{2}\cdot\frac{dV}{V} = -\frac23 U\,\frac{dV}{V}. \tag{7}\] Интегрируя уравнение (7), получаем \[UV^{2/3} = \mathrm{const}. \tag{8}\] Внутренняя энергия идеального одноатомного газа пропорциональна абсолютной температуре \(T\), и уравнение (8) можно записать в виде \[TV^{2/3} = \mathrm{const}. \tag{9}\]

б) Кислород находится в контакте с термостатом и испытывает изотермический процесс. Внутренняя энергия изменится только за счёт адиабатического процесса, который испытывает аргон: \[\Delta U = \nu C_V\Delta T = mc_V\Delta T, \tag{10}\] где \(\nu\) — число киломолей. Для аргона \(C_V = \dfrac32 R\).

Для всей системы \(L = 0\) и \(\Delta U = Q\).

Будем использовать индексы 1 и 2 для величин, относящихся соответственно к аргону в цилиндре A и к кислороду в цилиндре B: \[\Delta U = \frac{m_1}{\mu_1}\cdot\frac32\cdot R\left(T_1' - T_1\right) = Q = \frac{m_1}{\mu_1}\cdot\frac32 RT_1\left[\left(\frac{V_1}{V_1'}\right)^{2/3} - 1\right]. \tag{11}\] Из уравнения (11) следует \[T_1 = \frac23\cdot\frac{\mu_1}{m_1}\cdot\frac{Q}{R}\cdot\frac{1}{\left(\dfrac{V_1}{V_1'}\right)^{2/3} - 1} = 1000\text{ К}, \tag{12}\] \[T_1' = \frac{T_1}{4} = 250\text{ К}. \tag{13}\] Для изотермического процесса с кислородом \[\frac{\rho_2'}{\rho_2} = \frac{p_2'}{p_2}, \tag{14}\] \[p_2' = 2{,}00\text{ атм} = 2{,}026\cdot 10^5\text{ Н/м}^2.\] Из условия равновесия \[p_1' = p_2' = 2\text{ атм}. \tag{15}\] Для аргона \[p_1 = p_1'\cdot\frac{V_1'}{V_1}\cdot\frac{T_1}{T_1'} = 64\text{ атм} = 64{,}9\cdot 10^5\text{ Н/м}^2, \tag{16}\] \[V_1 = \frac{m_1}{\mu_1}\cdot\frac{RT_1}{p_1} = 1{,}02\text{ м}^3, \quad V_1' = 8V_1 = 8{,}16\text{ м}^3. \tag{17}\]

в) Когда кран открывают, газы перемешиваются, и в тепловом равновесии конечное давление будет \(p'\), а температура \(T\). Полное число киломолей постоянно: \[\nu_1 + \nu_2 = \nu', \quad \frac{p_1'V_1'}{RT_1'} + \frac{p_2'V_2'}{RT} = \frac{p\left(V_1' + V_2'\right)}{RT}, \tag{18}\] \[p_1' + p_2' = 2\text{ атм}, \quad T_2 = T_2' = T = 300\text{ К}.\]

Полный объём системы постоянен: \[V_1 + V_2 = V_1' + V_2', \quad \frac{V_2'}{V_2} = \frac{\rho_2}{\rho_2'}, \quad V_2' = \frac{V_2}{2} = 7{,}14\text{ м}^3. \tag{19}\] Из уравнения (18) получаем конечное давление: \[p = p_1'\cdot\frac{1}{V_1 + V_2}\cdot\left(V_1'\cdot\frac{T}{T_1'} + V_2'\right) = 2{,}2\text{ атм} = 2{,}23\cdot 10^5\text{ Н/м}^2. \tag{20}\]