Геометрическая оптика и интерференция

а) По принципу Ферма время распространения света из точки в сопряжённую ей точку не зависит от пути: сравните путь вдоль оси и путь через край линзы. б) Половинки линзы дают два действительных изображения источника — два когерентных источника; число полос — ширина области перекрытия пучков, делённая на ширину полосы.

а) Из принципа Ферма следует, что в приближении Гаусса время, за которое свет приходит из \(P_1\) в \(P_2\), не зависит от пути (\(P_1\) и \(P_2\) — сопряжённые точки).

\(T_1\) — время, за которое свет проходит оптический путь \(P_1V_1OV_2P_2\) (рис. 4.2): \[T_1 = \frac{P_1M}{v_1} + \frac{P_2M}{v_2}, \quad\text{где}\quad P_1M = \sqrt{P_1O^2 + MO^2} \approx P_1O + \frac{h^2}{2P_1O} \quad\text{и}\quad P_2M \approx P_2O + \frac{h^2}{2P_2O},\] поскольку \(h = OM\) много меньше, чем \(P_1O\) или \(P_2O\).

\[T_1 = \frac{P_1O}{v_1} + \frac{P_2O}{v_2} + \frac{h^2}{2}\cdot\left(\frac{1}{v_1P_1O} + \frac{1}{v_2P_2O}\right); \quad T_2 = \frac{P_1V_1}{v_1} + \frac{V_2P_2}{v_2} + \frac{V_1V_2}{v}, \tag{1}\] \[V_1V_2 \cong \frac{h^2}{2}\cdot\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right). \tag{2}\] Из условия \(T_1 = T_2\) следует \[\frac{1}{v_1P_1O} + \frac{1}{v_2P_2O} = \frac1v\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right) - \frac{1}{v_1R_1} - \frac{1}{v_2R_2}. \tag{3}\] Учитывая соотношение \(v = \dfrac{c}{n}\) и обозначая \(P_1O = s_1\), \(OP_2 = s_2\), соотношение (3) можно записать в виде \[\frac{n_1}{s_1} + \frac{n_2}{s_2} = n_o\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right) - \frac{1}{v_1R_1} - \frac{1}{v_2R_2}. \tag{4}\]

Если точка \(P_1\) находится в бесконечности, \(s_2\) становится фокусным расстоянием; то же самое для \(P_2\): \[\frac{1}{f_2} = \frac{1}{n_2}\cdot\left(\frac{n_o - n_1}{R_1} + \frac{n_o - n_2}{R_2}\right); \quad \frac{1}{f_1} = \frac{1}{n_1}\cdot\left(\frac{n_o - n_1}{R_1} + \frac{n_o - n_2}{R_2}\right). \tag{5}\] Из уравнений (5) и (4) следует \[\frac{f_1}{s_1} + \frac{f_2}{s_2} = 1. \tag{6}\] Линза плоско-выпуклая (рис. 4.3), и её фокусные расстояния \[f_1 = \frac{n_1R}{n_o - n_1} = \frac{R}{n_o - 1}; \quad f_2 = \frac{n_2R}{n_o - n_1} = \frac{n_2R}{n_0 - 1}. \tag{7}\]

б) В случае билинзы Бийе \(S_1\) и \(S_2\) — действительные изображения предмета \(S\), их можно рассматривать как когерентные источники света (рис. 4.4).

\(O_1O_2 = \Delta\) много меньше \(r\): \[OM = \Delta + r \approx r, \quad SO \approx SO_1 \approx SO_2 = p_1, \quad S_1O_1 = S_2O_2 \approx S'O = p_2, \quad S_1S_2 = \Delta\cdot\left(1 + \frac{p_1}{p_2}\right).\]

Вычислим ширину интерференционного поля \(RR'\) (рис. 4.4): \[RR' = 2\cdot RA = 2\cdot S'A\cdot\operatorname{tg}\frac{\varphi}{2}, \quad S'A \cong d - p_2, \quad \operatorname{tg}\frac{\varphi}{2} = \frac{r}{p_2}, \quad RR' = 2(d - p_2)\cdot\frac{r}{p_2}.\] Условие интерференционного максимума: \[S_2N = k\cdot\lambda.\] Полоса \(k\)-го порядка находится на расстоянии \(x_k\) от \(A\): \[x_k = k\cdot\frac{\lambda(d - p_2)}{\Delta\left(1 + \dfrac{p_2}{p_1}\right)}. \tag{8}\] Расстояние между соседними полосами: \[i = \frac{\lambda(d - p_2)}{\Delta\left(1 + \dfrac{p}{p_1}\right)}. \tag{9}\] Число полос, наблюдаемых на экране: \[N = \frac{RR'}{i} = 2r\Delta\cdot\frac{1 + \dfrac{p_2}{p_1}}{\lambda p_2}. \tag{10}\] \(p_2\) можно выразить из формулы линзы: \[p_2 = \frac{p_1 f}{p_1 - f}.\]