Электронный пучок

Подсказка

Поле проволоки — по теореме Гаусса. Поперечный импульс, полученный электроном, — интеграл силы по времени пролёта; удобно интегрировать по углу, под которым электрон виден из оси проволоки. За проволокой две половины пучка идут под углами \(\pm\theta_{final}\) и перекрываются — как в бипризме Френеля.

Решение

1. Из соображений симметрии электрическое поле направлено радиально от проволоки, и его модуль зависит только от радиуса \(r\) (в цилиндрических координатах). Окружим проволоку воображаемым цилиндром и применим теорему Гаусса: \[2\pi rE(r) = \frac{q_{linear}}{\varepsilon_0}\] для цилиндра радиусом \(r\) и единичной длины при условии \(r \ge r_0\). Поэтому \[E(r) = \frac{q_{linear}}{2\pi r\varepsilon_0} = \frac{0{,}791}{r}\text{ Н/Кл} \quad \text{при } r \ge r_0.\]

При \(r < r_0\) электрическое поле равно нулю (потому что медь — хороший проводник), т. е. внутри проволоки электрическое поле равно нулю.

2. В условии сказано, что угловое отклонение мало. Оценим угол отклонения \(\theta_{final}\) как отношение: импульс, приобретённый поперёк начальной скорости, делённый на начальный импульс: \[\theta_{final} \cong \frac{|\Delta\mathbf p_\perp|}{mv_0}.\]

Первую оценку поперечного импульса можно сделать так.

Поперечная сила (там, где она существенна) порядка \(\dfrac{eq_{linear}}{2\pi\varepsilon_0b}\).

(Существенная) поперечная сила действует в течение времени, за которое электрон проходит расстояние порядка \(2b\), и поэтому поперечная сила действует в течение времени порядка \(2b/v_0\).

Произведение силы на время действия даёт оценку поперечного импульса: \[|\Delta\mathbf p_\perp| \cong \frac{eq_{linear}2b}{2\pi\varepsilon_0bv_0} = \frac{eq_{linear}}{\pi\varepsilon_0v_0},\] и поэтому \[\theta_{final} \cong \frac{eq_{linear}}{\pi\varepsilon_0mv_0^2} = \frac{q_{linear}}{\pi\varepsilon_0 2V_0} = 3{,}96\times 10^{-5}\text{ радиан}\] после того, как по закону сохранения энергии записано \(\frac12mv_0^2 = eV_0\). Заметим, что отклонение крайне мало и что отклонение не зависит от прицельного параметра \(b\). Поскольку сила между положительно заряженной проволокой и электроном — притяжение, отклонение будет искривлять траекторию к проволоке — хотя и совсем чуть-чуть.

Более точную оценку можно получить, составив элементарное интегрирование для \(|\Delta\mathbf p_\perp|\) следующим образом. Для интегрирования приблизим реальную траекторию прямой линией, проходящей мимо проволоки на расстоянии \(b\), как показано на рисунке.

\[|\mathbf F_\perp| = \frac{eq_{linear}}{2\pi\varepsilon_0r}\cos\varphi, \qquad v_0\Delta t\cos\varphi = r\Delta\varphi \ \text{ и поэтому }\ \Delta t = \frac{r\Delta\varphi}{v_0\cos\varphi},\] \[|\mathbf F_\perp|\Delta t = \frac{eq_{linear}}{2\pi\varepsilon_0r}\cos\varphi\,\frac{r\Delta\varphi}{v_0\cos\varphi} = \frac{eq_{linear}}{2\pi\varepsilon_0v_0}\,\Delta\varphi.\] Суммирование приращений по \(\Delta\varphi\) в диапазоне от \(-\pi/2\) до \(\pi/2\) даёт \(|\Delta\mathbf p_\perp| = \dfrac{eq_{linear}}{2\varepsilon_0v_0}\).

Более точная оценка отличается от первой всего лишь множителем \(\pi/2\). Более точная оценка даёт \[\theta_{final} \cong \frac{eq_{linear}}{2\varepsilon_0mv_0^2} = \frac{q_{linear}}{2\varepsilon_0 2V_0} = 6{,}21\times 10^{-5}\text{ радиан}.\]

3. Основная часть искривления траектории происходит на расстоянии от проволоки порядка \(b\). В масштабе \(L\) величина порядка \(b\) действительно очень мала. Поэтому траекторию можно приблизить двумя прямыми с изломом вблизи проволоки. Таким образом, на поверхности наблюдения поперечное смещение каждой траектории равно \[\begin{pmatrix}\text{поперечное}\\ \text{смещение}\end{pmatrix} = \theta_{final}L = 6{,}21\times 10^{-5}\times 0{,}3 = 1{,}86\times 10^{-5}\text{ метра} \cong 19r_0 \gg r_0.\] Поэтому части пучка, проходящие по разные стороны проволоки, имеют область перекрытия, как показано на рисунке.

На рисунке: Intensity profile — профиль интенсивности; Not to scale! — не в масштабе!

Полная ширина области перекрытия равна \[\begin{pmatrix}\text{полная}\\ \text{ширина}\end{pmatrix} = 2\times(\theta_{final}L - r_0) \cong 36r_0 = 36\times 10^{-6}\text{ метра}.\] Плотность попаданий постоянна внутри каждой области и удвоена в области перекрытия.

4. С электронным пучком связана квантовая волновая картина, длина волны де Бройля которой равна \[\lambda = \frac{h}{mv_0} = \frac{h}{\sqrt{2meV_0}} = 8{,}68\times 10^{-12}\text{ метра}.\] Длина волны де Бройля настолько меньше ширины пучка \(2b_{max}\), что эффектами «дифракции на одной щели» можно пренебречь. Скорее, справа от проволоки перекрываются и интерферируют две плоские волны, распространяющиеся под фиксированным углом друг к другу (угол \(2\theta_{final}\)). В области, где, классически, две половины исходного пучка перекрываются, будут интерференционные максимумы и минимумы.

На рисунке: C = crest — гребень; T = trough — впадина; step in y — шаг по \(y\); Intensity profile (schematic) — профиль интенсивности (схематично).

Из рисунка видно, что \[\begin{pmatrix}\text{интервал между}\\ \text{соседними местами}\\ \text{конструктивной}\\ \text{интерференции}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\text{шаг}\\ \text{по } y\end{pmatrix} = \frac{\lambda/2}{\sin\theta_{final}} \cong \frac{\lambda/2}{\theta_{final}} \cong \frac{\frac12\times 8{,}68\times 10^{-12}}{6{,}21\times 10^{-5}} = 7{,}00\times 10^{-8}\text{ метра}.\] Поскольку область перекрытия имеет полную ширину \(\cong 36\times 10^{-6}\) метра, будет примерно 500 интерференционных максимумов. Заметим, что интервал между соседними максимумами не зависит ни от \(b\), ни от \(b_{max}\) (в отличие от ситуации с обычной «интерференцией на двух щелях»).

Историческая справка. Эта задача основана на ставшем классическим эксперименте G. Möllenstedt и H. Düker, «Observation and Measurement of Biprism Interference with Electron Waves», Zeitschrift für Physik, 145, pp. 377–397 (1956).