Силы лазерного излучения, действующие на прозрачную призму

Сила, действующая на призму, равна по модулю и противоположна по направлению скорости изменения импульса света, проходящего через неё. Свет, прошедший через верхнюю и нижнюю половины призмы, отклоняется на угол \(\theta\) в разные стороны; нужны мощности, падающие на каждую половину, — средние интенсивности на ней, умноженные на \(hw\).

1. Это простая задача на геометрию и закон Снеллиуса.

Рис. 1. Преломление в клине.

Угол падения \(a_3 = \alpha\), потому что \(a_1 = \alpha\) и \(a_1 + a_2 = a_2 + a_3 = 90^\circ\). Угол \(\beta\) находится из закона Снеллиуса \(\sin\alpha = n\sin\beta\). Угол падения на основание равен \[\frac{\pi}{2} - \left(\pi - \alpha - \left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\right) = \alpha - \beta,\] откуда следует, что \[\sin\theta = n\sin(\alpha - \beta),\] т. е. \[\theta = \sin^{-1}\left[n\sin\left(\alpha - \sin^{-1}\left(\frac{\sin\alpha}{n}\right)\right)\right].\]

2. Сила, действующая на призму, равна по модулю и противоположна по направлению скорости изменения импульса проходящего через неё лазерного света. Чтобы проанализировать это, рассмотрим изменения импульса лазерного света, падающего на верхнюю половину призмы.

Будем считать, что лазерный пучок доставляет к верхней половине призмы \(r_u\) фотонов в секунду, летящих параллельно оси \(x\). Если энергия фотона \(E\), то его импульс \(\vec p_i = \dfrac{E}{c}\,\mathbf i\), и фотон, покидающий призму под углом \(\theta\) к оси \(x\), будет отличаться по импульсу от падающего фотона на \[\delta\vec p = \frac{E}{c}(\cos\theta - 1)\,\mathbf i - \frac{E}{c}\sin\theta\,\mathbf j.\] Скорость изменения импульса этих фотонов тогда будет равна \[\vec F_{up} = r_u\,\delta\vec p = \frac{r_uE}{c}\left[(\cos\theta - 1)\,\mathbf i - \sin\theta\,\mathbf j\right].\] Величина \(r_uE\) — это мощность \(P_u\), доставляемая к верхней грани, и сила отдачи \(\vec F_u\), создаваемая светом, преломляющимся в верхней половине призмы, будет равна \[\vec F_u = \frac{P_u}{c}\left[(1 - \cos\theta)\,\mathbf i + \sin\theta\,\mathbf j\right].\] Аналогичное рассуждение даёт силу, действующую на нижнюю половину: \[\vec F_l = \frac{P_l}{c}\left[(1 - \cos\theta)\,\mathbf i - \sin\theta\,\mathbf j\right].\] Из этих двух результатов видно, что полная сила, действующая на призму, будет равна \[\vec F = \frac1c\left[(P_u + P_l)(1 - \cos\theta)\right]\mathbf i + \frac1c\left[(P_u - P_l)\sin\theta\right]\mathbf j.\] Угол \(\theta\) можно выразить через \(\alpha\) (см. ответ к пункту 1).

Чтобы найти значения \(P_u\) и \(P_l\), вычислим средние интенсивности \(\bar I_u\) и \(\bar I_l\), падающие на каждую половину призмы, и умножим на \(hw\) — площадь проекции каждой половины призмы на плоскость, перпендикулярную лазерному пучку. Поскольку распределение интенсивности \(I(y)\) — линейная функция \(y\), средние интенсивности легко найти.

Рис. 2. \(\bar I_u\) и \(\bar I_l\) при \(y_0 \ge h\).

Рис. 3. \(\bar I_u\) и \(\bar I_l\) при \(0 < y_0 < h\).

В условии сказано, что \[I(y) = I_0\left(1 - \frac{y}{4h}\right) \quad \text{при } 0 < y < +4h,\] \[I(y) = I_0\left(1 + \frac{y}{4h}\right) \quad \text{при } -4h < y < 0.\] Пусть теперь призма поднята на расстояние \(y_0\) от оси \(x\) (\(y_0 > 0\)). Есть два различных случая:

(a) При \(h \le y_0 \le 3h\) вся призма целиком находится в верхней половине пучка. Как показывает рис. 2, в этом случае среднее равно интенсивности в центре каждой грани, который находится при \(y_0 + h/2\) для верхней грани и при \(y_0 - h/2\) для нижней. Это даёт \[\bar I_u = I_0\left(1 - \frac{y_0 + h/2}{4h}\right) = I_0\left(\frac78 - \frac{y_0}{4h}\right),\] \[\bar I_l = I_0\left(1 - \frac{y_0 - h/2}{4h}\right) = I_0\left(\frac98 - \frac{y_0}{4h}\right).\] Отсюда следует, что \[F_x = \frac{2hwI_0}{c}\left(1 - \frac{y_0}{4h}\right)(1 - \cos\theta),\] \[F_y = -\frac{hwI_0}{4c}\sin\theta.\]

(b) При \(0 < y_0 < h\) нижняя половина призмы частично находится в нижней половине лазерного пучка, как показано на рис. 3. Тогда часть нижней половины призмы между 0 и \(y_0\) составляет долю \(y_0/h\) площади нижней половины призмы и видит среднюю интенсивность \[\bar I_{l_1} = I(y_0/2) = I_0\left(1 - \frac{y_0}{8h}\right).\] Часть между 0 и \(y_0 - h\) составляет долю \(1 - y_0/h\) площади и видит среднюю интенсивность \[\bar I_{l_2} = I\left(\frac{h - y_0}{2}\right) = I_0\left(\frac78 + \frac{y_0}{8h}\right).\] Объединяя, получаем \[P_l = hw\,\frac{y_0}{h}\,\bar I_{l_1} + hw\left(1 - \frac{y_0}{h}\right)\bar I_{l_2} = hwI_0\left(\frac78 + \frac{y_0}{4h} - \frac{y_0^2}{4h^2}\right).\] Средняя интенсивность на верхней грани зависит от \(y_0\) так же, как в первом случае. Поэтому \(P_u = hwI_0\left(\dfrac78 - \dfrac{y_0}{4h}\right)\), как и прежде.

Объединяя, получаем \[P_u + P_l = hwI_0\left(\frac74 - \frac{y_0^2}{4h^2}\right),\] \[P_u - P_l = -hwI_0\,\frac{y_0}{2h}\left(1 - \frac{y_0}{2h}\right),\] откуда следует, что \[F_x = \frac{hwI_0}{c}\left(\frac74 - \frac{y_0^2}{4h^2}\right)(1 - \cos\theta),\] \[F_y = -\frac{hwI_0}{c}\,\frac{y_0}{2h}\left(1 - \frac{y_0}{2h}\right)\sin\theta.\] Поскольку распределение интенсивности симметрично относительно оси лазерного пучка, решения при \(y_0 < 0\) будут зеркальным отражением решений при \(y_0 > 0\). Графики \(F_x\) и \(F_y\) как функций \(y_0\) показаны на рис. 4.

Рис. 4. (a) \(F_x\) в зависимости от \(y_0\); (b) \(F_y\) в зависимости от \(y_0\).

3. И уравнение, и график \(F_y\) показывают, что для того, чтобы \(F_y > 0\) и была направлена против силы тяжести, должно быть \(y_0 < 0\). Тогда, чтобы найти силу, необходимую для удержания призмы против силы тяжести, найдём массу призмы, приравняем выражение для вертикальной составляющей силы со стороны лазерного пучка весу призмы и найдём \(I_0\) при заданных параметрах. Используем этот результат, чтобы найти полную мощность лазерного пучка. Это можно сделать, найдя среднее значение \(\bar I\) по заданной площади поперечного сечения лазерного пучка.

Чтобы найти массу призмы, сначала найдём её объём \(= \operatorname{tg}\alpha\,h^2w\), тогда \[m = \frac{1}{\sqrt3}\times(10^{-3})^2\times 0{,}1\times 2{,}5 = 1{,}44\times 10^{-7}\text{ г} = 1{,}44\times 10^{-10}\text{ кг};\] \[mg = 1{,}42\times 10^{-9}\text{ Н}.\] Решение пункта (2) предполагало смещение в направлении \(y > 0\), но задача симметрична, поэтому можно воспользоваться этим решением. Нам нужно значение \(I_0\), удовлетворяющее равенству \[\frac{I_0hw}{c}\,\frac{y_0}{2h}\left(1 - \frac{y_0}{2h}\right)\sin\theta = mg = 1{,}42\times 10^{-9}\] при \[\theta = 15{,}9^\circ, \quad y_0 = \frac h2, \quad h = 10\times 10^{-6}\text{ м}, \quad w = 10^{-3}\text{ м}.\] \[I_0 = \frac{3\times 10^8\times 1{,}42\times 10^{-9}}{10^{-5}\times 10^{-3}\times 0{,}274\times\frac{3}{16}} = 8{,}30\times 10^8\text{ Вт/м}^2,\] поскольку мощность \(P\) даётся выражением \(P = \bar I\times\) площадь лазерного пучка, где \(\bar I = \dfrac{I_0}{2}\). Это даёт \[P = \frac12\times 8{,}30\times 10^8\times 10^{-3}\times 80\times 10^{-6} = 33{,}2\text{ Вт}.\]

4. Смещение \(h/20\) соответствует \(y_0/h = 0{,}05 \ll 1\), так что вертикальная составляющая силы хорошо аппроксимируется выражением \[F_y = -\frac{I_0w\sin\theta}{2c}\,y.\] Это уравнение гармонического осциллятора с угловой частотой \[\omega = \sqrt{\frac{I_0w\sin\theta}{2mc}} = \sqrt{\frac{I_0\sin\theta}{2c\rho h^2\operatorname{tg}\alpha}}.\] Подстановка чисел даёт \[T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{2\times 3\times 10^8\times 2{,}5\times 10^3\times 10^{-10}\times 1/\sqrt3}{10^8\times 0{,}274}} = 11{,}2\times 10^{-3}\text{ с}.\]