Солнечный парус

Запишите законы сохранения импульса и энергии при отражении фотона от движущегося зеркала и учтите, что сила светового давления убывает как \(1/R^2\). Сравните эту силу с силой гравитационного притяжения: при какой скорости они уравновешивают друг друга?

При отражении фотона от зеркала, движущегося со скоростью \(v\), законы сохранения импульса и энергии при \(\Delta v \ll v\) дают \(\Delta p = m\,\Delta v = 2p_1\dfrac{c}{c+v}\) — изменение импульса зеркала за одно столкновение. Интенсивность излучения убывает как \(W = W_0 R_0^2/R^2\), поэтому сила светового давления на зеркало, направленная от Солнца, равна \[F_W = \frac{2 W_0 S}{c}\,\frac{c - v}{c + v}\,\frac{R_0^2}{R^2}.\] Сила гравитационного притяжения \(F_G = \dfrac{4\pi^2 R_0^3}{T^2}\dfrac{m}{R^2}\), где \(T\) — период обращения Земли вокруг Солнца. Обе силы пропорциональны \(1/R^2\), поэтому движение с постоянной скоростью возможно на любом расстоянии. Приравнивая силы, получаем \[v = \frac{W_0 S T^2 - 2\pi^2 R_0 m c}{W_0 S T^2 + 2\pi^2 R_0 m c} \cdot c \approx -1{,}19\cdot 10^{7}~\text{м/с},\] то есть скорость зеркала направлена к Солнцу. Через час полёта расстояние от паруса до Солнца \(R_1 = R_0 - |v| t_1 \approx 1{,}07\cdot 10^{11}\) м \(= 0{,}72\) а. е.