Задачи › Теплоёмкость, политропические процессы

Круговой процесс

  1. Круговой процесс

    ВсОШ 2015/16, 11 кл.
    8/10

    Над молем идеального многоатомного газа проводят круговой процесс, который, будучи изображённым на \(p,V\)-диаграмме, при некотором масштабе имеет вид окружности. Центр окружности имеет координаты \((p_0,V_0)\), диаметр вдоль оси давлений равен \(2\Delta p\), а диаметр вдоль оси объёмов \(2\Delta V\).

    Рисунок

    1. Найдите все пары диаметрально противоположных точек окружности, в которых теплоёмкости одинаковы. Вычислите эти теплоёмкости.

    2. Сравните теплоёмкости двух произвольных диаметрально противоположных точек, лежащих во 2 и 4 квадрантах окружности (рис. 12), другими словами, определите, в какой из этих точек теплоёмкость больше и почему.

    Считайте, что теплоёмкость газа при постоянном объёме не зависит от \(T\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Выразите теплоёмкость процесса через наклон касательной \(dp/dV\) и отношение \(V/p\) в точке. Диаметрально противоположные точки имеют одинаковый наклон касательной, поэтому остаётся сравнить отношения \(V/p\) и положения точек на окружности.

    Ответ

    1) Пары точек \((V_0;\ p_0\pm\Delta p)\) с горизонтальной касательной: \(C = C_p = 4R\); пары \((V_0\pm\Delta V;\ p_0)\) с вертикальной касательной: \(C = C_V = 3R\); пара точек на диаметре, проходящем через начало координат (\(p/V = p_0/V_0\)): \(C = 3R + \dfrac{R}{1 - \left(\dfrac{V_0\,\Delta p}{p_0\,\Delta V}\right)^2}\); 2) \(C_C > C_D\), так как в точке с меньшим отношением \(V/p\) теплоёмкость больше.

    Решение

    Для одного моля идеального газа \(C = \dfrac{\delta Q}{dT} = \dfrac{dU + p\,dV}{dT}\). Из уравнения состояния \(R\,dT = p\,dV + V\,dp\), поэтому \(dU = C_V\,dT = \dfrac{C_V}{R}(p\,dV + V\,dp)\), и \[C = C_V + \frac{R}{1 + \dfrac{V}{p}\dfrac{dp}{dV}}.\] В любых диаметрально противоположных точках \(A\) и \(B\) касательная к окружности имеет один и тот же наклон: \((dp/dV)_A = (dp/dV)_B\). Значит, теплоёмкости равны, если \(dp/dV\) равно нулю (тогда \(C = C_p\)) или бесконечности (тогда \(C = C_V\)), либо если точки \(A\), \(B\) и центр окружности лежат на одной прямой, проходящей через начало координат, то есть \(V_A/p_A = V_B/p_B = V_0/p_0\).

    Для третьего случая перерисуем процесс в безразмерных осях (рис. 25): если угловой коэффициент прямой \(AB\) равен \(k\), то касательная в точке \(B\) перпендикулярна ей, и \[\frac{dp}{dV} = -\frac{V_0}{p_0}\left(\frac{\Delta p}{\Delta V}\right)^2, \qquad C = C_V + \frac{R}{1 - \left(\dfrac{V_0}{p_0}\right)^2\left(\dfrac{\Delta p}{\Delta V}\right)^2}.\]

    Рисунок

    Для точек \(C\) и \(D\), лежащих во 2 и 4 квадрантах, \((dp/dV)_C = (dp/dV)_D > 0\), поэтому теплоёмкость больше там, где отношение \(V/p\) меньше: \(V_C/p_C < V_D/p_D\), откуда \(C_C > C_D\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх