МГД-насос
7/10Магнитогидродинамический (МГД) насос представляет собой плоский конденсатор с размерами пластин \(h \times a\) и расстоянием между ними \(b\) (\(h \gg b\), \(a \gg b\)). С боковых торцов конденсатор ограничен непроводящими стенками. К пластинам конденсатора подключен идеальный источник с напряжением \(U\) (полярность указана на рисунке 14). Между пластинами конденсатора создано однородное магнитное поле с индукцией \(B\), вектор которой горизонтален и параллелен проводящим пластинам. Нижними краями конденсатор касается поверхности слабопроводящей жидкости с плотностью \(\rho_0\) и удельным сопротивлением \(\lambda\). Сверху к конденсатору герметично присоединён непроводящий кожух. Посередине конденсатора на высоте \(h/2\) на тонкой нити подвешен небольшой непроводящий шарик, имеющий объём \(V\) и плотность \(\rho > \rho_0\). Определите зависимость силы \(T(U)\) натяжения нити от напряжения на источнике. Постройте качественный график этой зависимости, указав на нём характерные точки. Сверху кожух и поверхность проводящей жидкости сообщаются с атмосферой.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаТок через жидкость между пластинами создаёт силу Ампера, которая поднимает жидкость. Найдите напряжение, при котором эта сила уравновешивает вес жидкости, а затем запишите равновесие шарика.
Ответ\(T(U) = \rho g V\) при \(U \leqslant U_{\text{кр}} = \dfrac{\rho_0 g \lambda b}{B}\); \(T(U) = (\rho - \rho_0)\,gV + \dfrac{BV}{\lambda b}\,U\) при \(U > U_{\text{кр}}\). График: горизонтальный участок \(T = \rho g V\) до \(U_{\text{кр}}\), далее прямая с наклоном \(BV/(\lambda b)\), пересекающая ось \(T\) в точке \((\rho - \rho_0)\,gV\).
РешениеСила тяжести, действующая на жидкость объёма \(V\): \(F_т = \rho_0 g V\). Плотность тока в жидкости между пластинами одинакова во всех точках, поэтому на элемент объёма \(V\) действует сила Ампера \(F_{\text{амп}} = \dfrac{BIb}{abh}\,V = \dfrac{BI}{ah}\,V\), где \(I = \dfrac{Ua h}{\lambda b}\). Жидкость поднимается, если \(F_{\text{амп}} > F_т\), то есть при \(U > U_{\text{кр}} = \dfrac{\rho_0 g \lambda b}{B}\).
При \(U > U_{\text{кр}}\) на шарик жидкости между пластинами со стороны остальной жидкости действует направленная вниз сила Архимеда \(F_{\text{арх}} = F_{\text{амп}} - F_т = \left(-\rho_0 g + \dfrac{BU}{\lambda b}\right)V\). Такая же по величине сила действует на непроводящий шарик. В равновесии \[T(U) = F_{\text{арх}} + \rho g V = (\rho - \rho_0)\,gV + \frac{BV}{\lambda b}\,U.\] При \(U \leqslant U_{\text{кр}}\) жидкость не поднимается, и \(T = \rho g V\). Окончательно \[T(U) = \begin{cases} \rho g V, & U \leqslant \dfrac{\rho_0 g \lambda b}{B},\\[2mm] (\rho - \rho_0)\,gV + \dfrac{BV}{\lambda b}\,U, & U > \dfrac{\rho_0 g \lambda b}{B}. \end{cases}\]
