Задачи › Переменный ток, импеданс, векторные диаграммы

Звезда переменного тока

  1. Звезда переменного тока

    ВсОШ 2015/16, 11 кл.
    7/10

    Три элемента, среди которых могут быть резисторы, конденсаторы и катушки индуктивности, соединены звездой (рис. 13). При подключении источника переменного напряжения к выводам 1 и 2 цепи вольтметр переменного тока, подключенный к выводам 1 и 3, показывает 80 В. При подключении вольтметра к выводам 2 и 3 он показывает 45 В. При подключении того же источника к выводам 1 и 3 вольтметр показывает 21 В между выводами 2 и 3 и 28 В между 1 и 2. При подключении источника к выводам 2 и 3 вольтметр показывает 21 В между 1 и 2 и 28 В между 1 и 3.

    Рисунок

    1. Определите напряжение источника.

    2. Определите элементы цепи, соответствующие лучам звезды. Можно ли однозначно установить тип элементов цепи?

    3. Определите отношение силы токов \(I_{12} : I_{13} : I_{23}\) через источник при его подключении к выводам 1 и 2, 1 и 3, 2 и 3.

    Источник, вольтметр и все элементы цепи можно считать идеальными.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Напряжения на двух последовательно соединённых элементах складываются как векторы: резистор даёт напряжение в фазе с током, конденсатор и катушка — со сдвигом на \(90^\circ\). Сравните модули напряжений в разных схемах подключения и найдите элемент, который не сдвигает фазу.

    Ответ

    1) \(U = 35\) В;  2) элемент 3 — резистор, элементы 1 и 2 — конденсатор и катушка индуктивности; однозначно установить, какой из них конденсатор, а какой катушка, нельзя;  3) \(I_{12} : I_{13} : I_{23} = 60 : 21 : 28\).

    Решение

    При подключении к источнику переменного тока двух последовательно соединённых элементов их напряжения складываются как векторы, модуль суммы которых равен напряжению, показываемому вольтметром. Для резистора вектор направлен под углом \(0^\circ\), для конденсатора — под \(+90^\circ\), для катушки — под \(-90^\circ\). Суммарное напряжение не превосходит суммы напряжений.

    Пусть один из элементов 1 и 2 — катушка, другой — конденсатор. Тогда напряжение на них \(U_{12} = 80\,\text{В} - 45\,\text{В} = 35\,\text{В}\) — это и есть напряжение источника. Так как \(21^2 + 28^2 = 35^2\), элемент 3 является резистором. Поменять местами катушку и конденсатор нельзя различить, так как при сохранении импедансов напряжения не меняются. Остальные варианты приводят к противоречию (суммарное напряжение в них больше, чем \(45\,\text{В}\)), поэтому элементы 1 и 2 — конденсатор и катушка.

    Импедансы складываются аналогично напряжениям, отношения модулей импедансов равны отношениям напряжений: \(Z_1 : Z_3 = 4 : 3\) и \(Z_3 : Z_2 = 4 : 3\). Пусть \(Z_2 = 9\), \(Z_3 = 12\), \(Z_1 = 16\) (относительные единицы). Тогда \(Z_{12} = 7\), \(Z_{13} = 20\), \(Z_{23} = 15\). Ток обратно пропорционален импедансу, поэтому \[I_{12} : I_{13} : I_{23} = \frac{1}{7} : \frac{1}{20} : \frac{1}{15} = 60 : 21 : 28.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх