И снова МГД
5/10Модель морского магнитогидродинамического двигателя, установленного под днищем катера (см. рис.), представляет собой прямоугольный канал (\(a = 1{,}0\) м, \(l = 2\) м, \(h = 10\) см). К хорошо проводящим плоскостям \(hl\) подключён идеальный источник постоянного тока с ЭДС \(\mathcal{E} = 100\) В. Магнитное поле \(B = 1\) Тл пронизывает канал перпендикулярно непроводящим плоскостям \(al\). При движении катера с таким двигателем с постоянной скоростью \(u\) скорость вытекающей относительно катера воды \(v = 10\) м/с.
Удельное сопротивление морской воды \(\rho = 1{,}0\cdot10^{-2}\) Ом\(\cdot\)м, её плотность \(\rho_{\text{в}} = 1000\) кг/м\(^3\).
Найдите скорость движения катера, силу тяги, полезную мощность и КПД двигателя.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаЗапишите закон сохранения энергии для воды, прошедшей через канал, с учётом ЭДС индукции в канале. Силу тяги найдите как изменение импульса воды.
Ответ1) \(u \approx 8\) м/с; 2) \(T \approx 2\) кН; 3) \(P_{\text{пол}} \approx 16\) кВт; 4) \(\eta \approx 9\%\).
РешениеЭнергетический метод. В системе отсчёта катера вода вдали от него движется со скоростью \(u\), из двигателя вытекает со скоростью \(v\). Закон сохранения энергии для воды, прошедшей через канал: \[\frac{\rho_{\text{в}}u^2}{2} + jBl = \frac{\rho_{\text{в}}v^2}{2},\] где \(j = I/(hl)\) — плотность тока поперёк канала. В канале возникает ЭДС индукции, направленная против ЭДС источника, поэтому \[I = \frac{\mathcal{E} - vBa}{R} = \frac{hl\,(\mathcal{E} - vBa)}{\rho a}.\] Отсюда \[u = \sqrt{v^2 - \frac{2Bl}{\rho\rho_{\text{в}}a}\,(\mathcal{E} - vBa)} = 8~\text{м/с}.\] Сила тяги равна изменению импульса воды, прошедшей через канал за единицу времени: \[T = \rho_{\text{в}} a h v (v - u) \approx 2~\text{кН}.\] Полезная мощность \(P_{\text{пол}} = Tu \approx 16\) кВт, КПД \[\eta = \frac{P_{\text{пол}}}{\mathcal{E} I} = \frac{\rho T u\,a}{hl\,\mathcal{E}(\mathcal{E} - vBa)} \approx 9\%.\]
Динамический метод. Сила тяги равна силе Ампера, действующей на ток в канале: \(T = IBa = \dfrac{hlB(\mathcal{E} - vBa)}{\rho} \approx 1{,}8\) кН. Приравнивая это значение изменению импульса воды, получаем \(u = v - \dfrac{T}{\rho_{\text{в}} a h v} \approx 8{,}2\) м/с, \(P_{\text{пол}} \approx 14{,}8\) кВт, \(\eta \approx 8{,}2\%\). Примечание организаторов: использование \(T = F_A\) в этом методе по сути некорректно, так как не учитывается изменение импульса воды вне канала, поэтому энергетический метод предпочтителен.