Бусинка

Вблизи центра поле внутри трубы направлено радиально и пропорционально смещению. Удобно заменить трубу суммой однородно заряженных колец и воспользоваться теоремой Гаусса для малого цилиндра у центра.

Поле вблизи положения равновесия найдём по теореме Гаусса для малого соосного цилиндра радиуса \(r\) и высоты \(2x\) (\(x \ll r \ll R, H\)). Поток через боковую поверхность компенсирует поток через основания, и радиальная напряжённость \[E_r(r) = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{2L^3}\,r ,\] где \(L\) — расстояние от точки наблюдения до края трубы: \(L \approx \sqrt{R^2 + H^2/4}\). Уравнение движения бусинки \(m\ddot r = qE_r(r)\) даёт частоту \[\omega = \frac{1}{L}\sqrt{\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\gamma Q}{2L}} ,\] откуда период \[T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi L\sqrt{\frac{8\pi\varepsilon_0 L}{\gamma Q}} .\]