Бусинка
6/10Гладкая проволока изогнута так, что если совместить ось \(Oy\) с одной её частью, то другая часть проволоки будет совпадать с графиком функции \(y = ax^3\) при \(x > 0\) (рис.). Проволока равномерно вращается вокруг вертикальной оси \(Oy\) с угловой скоростью \(\omega\). На неё надета бусинка \(M\), которая может скользить вдоль проволоки с пренебрежимо малым трением. Найдите координаты \(x_0\) и \(y_0\) равновесного положения бусинки и период \(T\) малых колебаний относительно этого положения.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаВо вращающейся системе на бусинку действуют сила тяжести и центробежная сила; в равновесии их равнодействующая перпендикулярна проволоке, т. е. наклон касательной \(y'(x)\) равен \(\omega^2 x/g\). Для малых колебаний запишите энергию в этой системе через \(x\), учитывая, что скорость вдоль проволоки содержит и \(\dot y = y'\dot x\).
Ответ\(x_0 = \dfrac{\omega^2}{3ag}\), \(y_0 = \dfrac{\omega^6}{27a^2g^3}\); \(T = \dfrac{2\pi}{\omega}\sqrt{1 + \dfrac{\omega^8}{9a^2g^4}}\).
Похожие задачи
- Муравей на соломинке ВсОШ 2007/08, 11 кл.
- Колебания груза на резиновом тросе СПбГУ 2010/11, 11 кл.
- Груз на стержне с пружиной Курчатов 2019/20, 11 кл.
- Бусинка между зарядами Ведомственная 2019/20, 11 кл.
- Крутильные колебания стержня на нитях Росатом 2020/21, 11 кл.
- Нелинейный шнур МОШ 2023/24, 11 кл.