Слинки

Удобно считать, что падает центр масс пружины, а не каждый виток. Высоту центра масс относительно нижнего витка найдите из условия равновесия витков в растянутом состоянии.

По теореме о движении центра масс время падения пружины равно времени падения тела с высоты \(H = h + h_c\), где \(h_c\) — высота центра масс над нижним витком висящей пружины.

Пусть жёсткость одного витка \(k\), его масса \(m\), число витков \(N \gg 1\). Условие равновесия \(i\)-го витка даёт удлинение \(\Delta x_i = (i-1)\dfrac{mg}{k}\), координата витка \(x_i = \dfrac{mg\,i(i-1)}{2k}\), откуда \[l = x_N \approx \frac{mgN^2}{2k}.\] Координата центра масс \[h_c = \frac{1}{mN}\sum_{i=1}^{N} m x_i \approx \frac{mgN^2}{6k} = \frac{l}{3}.\] Время падения \[\tau = \sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{\frac{2\left(h + \dfrac{l}{3}\right)}{g}} \approx 0{,}55~\text{с}.\] Учёт длины пружины в сжатом состоянии \(l_0\) даёт относительную поправку около \(2\%\), то есть \(\Delta\tau \approx 0{,}01\) с.