Задачи › Центр масс, системы материальных точек

Шарики на нити и стержне

  1. Шарики на нити и стержне

    Яан Калда, №72
    7/10

    На конце очень длинной нити висит маленький шарик массы \(M\); к нему невесомым стержнем прикреплён другой маленький шарик массы \(m\). Длина стержня равна \(l\). Изначально система находится в равновесии. Какую горизонтальную скорость надо сообщить нижнему шарику, чтобы он поднялся на ту же высоту, что и верхний? Размерами шариков по сравнению с длиной стержня можно пренебречь.

    Рисунок 58

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Решение

    Заметим, что из-за того, что нить чрезвычайно длинная, горизонтальных сил со стороны нити нет, а значит, горизонтальный импульс сохраняется: \[mv = (M+m)u.\] Сохранение энергии тогда даёт \[\tfrac12mv^2 = \tfrac12(M+m)u^2+mg\ell \ \Longrightarrow\ \tfrac12mv^2 = \tfrac12\frac{m^2v^2}{M+m}+mg\ell.\] Решая относительно \(v\), получаем1 \[\boxed{v = \sqrt{2g\ell(1+m/M)}}.\]

    Сноски

    1. Полезно проверить предельные случаи. Если \(m/M\to0\), горизонтальными компонентами скорости можно пренебречь и просто сохранять энергию; получаем стандартный результат \(v = \sqrt{2g\ell}\). Если \(M\to\infty\), то нужна бесконечная скорость, чтобы поднять груз на высоту, — ведь нить, как сказано, очень длинная. ↩

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх