Лунное затмение

Радиус орбиты Луны найдите из второго закона Ньютона, используя \(g R^2 = GM_{\text{З}}\). Размер тени на расстоянии Луны — из геометрии конуса с углом \(2\delta\).

1. В отсутствие рефракции лучи сходятся под тем же углом \(2\delta\), под которым Солнце видно с Земли, поэтому \[L_1 = \frac{R}{\delta} \approx 1{,}4\cdot10^6~\text{км}.\] Радиус орбиты Луны из второго закона Ньютона: \[\omega_0 = \frac{2\pi}{T_0} = \sqrt{\frac{gR^2}{R_0^3}}, \qquad R_0 = \sqrt[3]{\frac{gT_0^2R^2}{4\pi^2}} \approx 384~\text{тыс. км}.\] Диаметр Луны \(D = 2\delta R_0 \approx 3{,}45\cdot10^3\) км, диаметр тёмного пятна на уровне Луны \[D_1 = 2R\left(1 - \frac{R_0}{L_1}\right) \approx 9{,}3\cdot10^3~\text{км}.\] Продолжительность полного затмения \[T = \frac{D_1 - D_2}{\omega_0 R_0} = T_0\,\frac{D_1 - D_2}{2\pi R_0} \approx 1{,}6~\text{ч}.\]

2. Закон Снелла при преломлении луча на границе атмосферы даёт при малых углах \(\gamma^2 - \varphi^2 = 2\Delta n\), откуда угол отклонения луча \[\Delta\varphi = \gamma - \varphi = \frac{\Delta n}{\gamma}, \qquad \gamma \approx \sqrt{\frac{2h}{R}} ,\] где \(\Delta n = n - 1 = 2{,}8\cdot10^{-4}\). Луч испытывает два одинаковых отклонения (при входе и выходе), поэтому угол, под которым сходятся солнечные лучи, \(\psi = 2\delta + 4\Delta\varphi\), и \[L_2 = \frac{2R}{2\delta + 4\Delta\varphi} \approx 408~\text{тыс. км}.\] Диаметр тёмного пятна \(D_2 = 2R\left(1 - \dfrac{R_0}{L_2}\right) \approx 753\) км, а отношение площадей \(\varepsilon = (D_2/D)^2 \approx 4{,}8\%\).